专题04 常用逻辑用语（2）（反证法）
知识梳理
反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
思考：将9个求分别染成红色或白色，那么无论怎样染，至少有5个球是同色的，怎么证明这个结论呢？
反证法的定义：
1.（1）想一想，我们接触过哪些数学问题是用反证法证明的？在实际生活中有没有这样的例子？请举出一例。

（2）设,,a b c 均为正实数，反证法证明：1
11,,a b c b c a
+++至少有一个不小于2.
2.试说出下列命题的反面：
（1）a 是实数。

（2)a 大于2。

（3）a 小于2。

（4）至少有2个
（5）最多有一个 （6）两条直线平行。

3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步反设：
4.已知：一个整数的平方能被2整除 求证：这个数是偶数。

思考：反证法的步骤是什么？
（四）当堂检测
1．求证：一个三角形中，最大的角不小于600..
2．已知,,(0,)a b c ∈+∞.求证：4a b +，9b c +，16c a
+中至少有一个不小于6.
巩固练习
1．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ）
A ．假设至少有一个钝角
B ．假设至少有两个钝角
C ．假设三角形的三个内角中没有一个钝角
D ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
2．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

A ．假设三内角都不大于60度；
B ．假设三内角至多有两个大于60度；
C ．假设三内角至多有一个大于60度；
D ．假设三内角都大于60度。

3．用反证法证明命题：“,N a b ∈，若ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除．”时，假设的内容应该是（ ）
A ．,a b 都不能被5整除
B ．,a b 都能被5整除
C ．,a b 不都能被5整除
D ．a 能被5整除 4．设,,0x y z >，1114,4,4a x b y c z y z x
=+=+=+，则,,a b c 三个数（ ） A ．都小于4 B ．至少有一个不大于4
C ．都大于4
D ．至少有一个不小于4 5．用反证法证明命题“若1x <-，则2230x x -->”时，正确的反设为（ ）
A ．x ≤﹣1
B ．x ≥﹣1
C ．x 2﹣2x ﹣3≤0
D ．x 2﹣2x ﹣3≥0
6．设,a b 是两个实数，给出下列条件：
①1a b +>；②2a b +=；③2a b +>；④222a b +>；⑤1ab >.
其中能推出：“,a b 中至少有一个大于1”的条件是____________．
7．已知,,1a b R a b ∈+<，求证20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1，用反证法证明可假设__________
8．（1）已知0a >，0b >，且a b ，比较是22
a b b a
+与+a b 的大小； （2）用反证法证明：若a 、b 、R c ∈，且221x a b =-+，221y b c =-+，221z c a =-+，
则x、y、z中至少有一个不小于0；
（32
<
课后练习
1．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是
A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角
C．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
2．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下：甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是
A．甲 B．乙 C．丙 D．甲或乙
a b∈，若ab可被5整除，那么,a b中至少有一个能被5整除．”3．用反证法证明命题：“,N
时，假设的内容应该是（）
A．,a b都不能被5整除B．,a b都能被5整除
C．,a b不都能被5整除D．a能被5整除
4．用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a 、b 、c 中至多有一个是偶数”的正确假设为（ ）
A ．自然数a 、b 、c 中至少有一个是偶数
B ．自然数a 、b 、c 中至少有两个是偶数
C ．自然数a 、b 、c 都是奇数
D ．自然数a 、b 、c 都是偶数
5．十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数2n >时，关于,,x y z 的方程n n n x y z +=没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是（ ）
A ．存在至少一组正整数组(,,)x y z 使方程333x y z +=有解
B ．关于,x y 的方程331x y +=有正有理数解
C ．关于,x y 的方程331x y +=没有正有理数解
D ．当整数3n >时，关于,,x y z 的方程n n n x y z +=没有正实数解
6．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测： 甲说：我不是第三名；
乙说：我是第三名；
丙说：我不是第一名．
若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第一名的是__________．
7．（1（2）已知0a >，0b >，且2a b +>，求证：1b a +和1a b
+中至少有一个小于2.。