例：设集合A={x,y,z} ,B={a,b,c,d}, C={1,2,3} 设集合 f 是A到B的函数，g 是B到C的函数，其中 的函数， 的函数， 到 的函数 到 的函数 f(x)=b, f(y)=c, f(z)=c g(a)=1, g(b)=2, g(c)=1, g(d)=3 求复合函数g 求复合函数 ∘ f。 的函数。 解：由定义可知复合函数 ∘ f是A到C的函数。且 由定义可知复合函数g 是 到 的函数 复合函数 g ∘f(x)= g (f(x))= g (b)=2. g ∘f(y)= g (f(y))= g (c)=1. g ∘f(z)= g (f(z))= g (c)=1.
二、函数的逆（反函数） 函数的逆（反函数）
对于二元关系R，只要交换所有的有序对， 对于二元关系 ，只要交换所有的有序对，就能
~ 得到逆关系 R ；
~ 但对于函数 f ,交换所有的有序对得到的逆关系到 f 交换所有的有序对得到的逆关系到 ~ 却不一定是函数， 却不一定是函数，只有当 f 为双射函数时其逆关系 f
是函数, 也是函数, 定理 设F, G是函数 则F∘G也是函数 且满足 是函数 ∘ 也是函数 (1) dom(F◦G)={ x | x∈domF ∧ F(x)∈domG} ◦ ∈ ∈ (2) ∀x∈dom(F∘G) 有 F∘G(x) = F(G(x)) ∈ ∘ ∘
推论1 推论 设 f：A→B, g：B→C, 则 f ∘g：A→C, 且 ： ： ： ∀x∈A 都有 f ∘g(x) = f(g(x)). ∈
三、鸽洞原理
如果某人营造了n个鸽洞，养了多于 只鸽子 只鸽子， 如果某人营造了 个鸽洞，养了多于n只鸽子， 个鸽洞 则必有一个鸽洞有2只或 只以上的鸽子， 则必有一个鸽洞有 只或 2只以上的鸽子， 这就是鸽洞原理。 这就是鸽洞原理。 用数学语言来描述这个原理，即： 用数学语言来描述这个原理， A，B是有限集合，f 是A到B的函数， ， 是有限集合 是有限集合， 的函数， 到 的函数 如果︱ ︱ 中至少有两个元素， 如果︱A︱﹥︱B︱，则A中至少有两个元素， ︱ 中至少有两个元素 其函数值相等。 其函数值相等。
思考： 思考： 设 f ：R→R, g ：R→R
x2 f ( x) = − 2
x≥3 x<3
g ( x) = x + 2
存在反函数, 求出它们的反函数. 求 f ο g, g ο f. 如果 f 和 g 存在反函数 求出它们的反函数 解： f o g : R → R
go f :R→R ( x + 2)2 f o g ( x) = − 2 x ≥1 x <1
个正整数， 例：证明任意n+1个正整数，其中必有两个数 证明任意 个正整数 之差被n整除。 之差被 整除。 整除 由于任意正整数被n除后 除后， 证明 由于任意正整数被 除后，其余数只能 个正整数中， 是0，1，2…… n-1，所以 ，， ，所以n+1个正整数中， 个正整数中 必有两个数被n除后余数相同， 必有两个数被 除后余数相同， 除后余数相同 因此这两个数之差必能被n整除。 因此这两个数之差必能被 整除。 整除
某人步行驶10小时 共走45公里 小时， 公里， 例: 某人步行驶 小时，共走 公里，已知他第 一小时走了6公里，最后一小时只走了 公里 公里， 一小时走了 公里，最后一小时只走了2公里， 公里 证明必有连续的两小时， 证明必有连续的两小时，在这两小时内至少 走了10公里。 走了 公里。 公里 证明: 设第i小时走了 公里， 小时走了a 证明 设第 小时走了 i公里，连续的两小时所走里 程为a 共有9种 程为 1+a2, a2+a3,…, a9+a10,共有 种； 共有 因为（ 因为（ a1+a2 ）+（ a2+a3 ）+… … + (a9+a10) （ =2×45-6-2=82, × 所以必有连续的两小时里所走里程大于等于10公里。 所以必有连续的两小时里所走里程大于等于 公里。 公里
f={<x,1>, <y,1>, <z,4>}， ， g={<1,b>, <2,b>, <3,b>, < 4,a>}， ，
如果将函数f 看作是A到 的二元关系 的二元关系， 看作是 看作是B到 的二元 如果将函数 看作是 到B的二元关系，g看作是 到C的二元 关系，合成后的关系记为 ，它是A到 的二元关系 的二元关系， 关系，合成后的关系记为R，它是 到C的二元关系， 记为R=f ∘g，且R={(x,b),(y,b),(z,a)}. 记为 ，
一般的情况是：当鸽洞为 个 一般的情况是：当鸽洞为n个，鸽子数大于 n×m只时，必有一个鸽洞住有 × 只时 必有一个鸽洞住有m+1只或多于 只时， 只或多于 m+1只鸽子。 只鸽子。 只鸽子 例如， 个鸽洞， 只鸽子 则必有一个鸽洞， 只鸽子， 例如，有3个鸽洞，13只鸽子，则必有一个鸽洞， 个鸽洞 住有5只或 5只以上的鸽子。 住有 只或 只以上的鸽子。 更一般的情况是： ， 是有限集合 是有限集合， 更一般的情况是： A，B是有限集合，f 是A到B 到 的函数， 的函数，如果︱A︱﹥ n×m ，︱B︱= n，则在 A中至少有m+1个元素，其函数值相等。 中至少有m+1个元素，其函数值相等。 m+1个元素
证明在1—100的正整数中，任取 个正整数， 的正整数中， 个正整数， 例: 证明在 的正整数中 任取51个正整数 其中必存在两个数，一个数是另一个数的倍数。 其中必存在两个数，一个数是另一个数的倍数。 证明 对于任意的偶数，使得：偶数=奇数×2k. 对于任意的偶数，使得：偶数 奇数× 奇数 构造以下50个集合 个集合： 构造以下 个集合： A1={1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26} ， × ，× × × × × A3={3，3×2，3× 22 ，3× 23 ，3× 24 ，3× 25 } ， × ， × × × × A5={5，5×2，5× 22 ，5× 23 ，5× 24 } ， × ， × × × A7={7，7×2，7× 22 ，7× 23} ={7，7×2，7× 7× A9={9，9×2，9× 22 ，9× 23 } ， × ， × × A11={11，11×2，11× 22 ，11× 23 } ， × ， × × A13={13，13×2，13× 22 } ， × ， × …………………………. A49={49，49×2 } ， × A51={51} A53={53} ……………………….. A99={99}
才是函数。 才是函数。
二、反函数(函数的逆)
对于二元关系R，只要交换所有有序对的顺序， 对于二元关系 ，只要交换所有有序对的顺序，就能得
~ 其逆关系 R
；
交换f 的所有有序对得到的逆关系f 但对于函数 f , 交换 的所有有序对得到的逆关系 −1是二元关 系却不一定是函数。 系却不一定是函数。 如：F={<a,b>,<c,b>}， F −1={<b,a>,<b,c>} ，
x2 + 2 x ≥ g o f ( x) = x<3 0
f：R→R不是双射的 不存在反函数 g：R→R是双射的 ： 不是双射的, 是双射的, 不是双射的 不存在反函数. ： 是双射的 它的反函数是 g−1：R→R, g−1(x) = x−2 −
思考： 思考： 个正整数， 设a1,a2,…,an是任意的n个正整数， 是任意的 个正整数 证明存在i和 ≥ ≥ ， 证明存在 和k (i≥0,k≥1)，使得 ai+1+ ai+2+……+ ai+k 能被n整除。 能被 整除。 整除
反函数存在的条件
~ 但对于函数 f ,交换所有的有序对得到的逆关系到 f 交换所有的有序对得到的逆关系到 ~ 却不一定是函数， 却不一定是函数，只有当 f 为双射函数时其逆关系 f
才是函数。 才是函数。
反函数的定义及性质
反函数的定义： 反函数的定义： 对于双射函数f： 对于双射函数 ：A→B, 称 f −1：B→A是 是 它的反函数 它的反函数. 反函数 定理 设 f：A→B是双射的 则f −1：B→A也是双射的 是双射的, 也是双射的. ： 是双射的 也是双射的 反函数的性质： 反函数的性质： 定理: 是双射的, 定理 设 f：A→B是双射的 则 ： 是双射的 f −1∘f = IA, f ∘f −1 = IB 对于双射函数 f：A→A, 有 ： f −1∘f = f ∘f −1 = IA
函数复合运算的性质
定理 设 f：A→B, g：B→C. ： ： (1) 如果 f 和 g都是单射函数 则 都是单射函数, 都是单射函数 g ∘ f ：A→C也是单射的函数 也是单射的函数. 也是单射的函数 (2) 如果 f 和 g都是满射函数 则 都是满射函数, 都是满射函数 g ∘ f ：A→C也是满射的函数 也是满射的函数. 也是满射的函数 (3) 如果 f 和 g都是双射函数 则 都是双射函数, 都是双射函数 g ∘ f ：A→C也是双射的函数 也是双射的函数. 也是双射的函数 的满射性, 证 (1) ∀c ∈C, 由 g：B→C 的满射性 ∃b ∈B 使得 ： g(b)=c. 对这个 由 f：A→B 的满射性，∃a ∈A 对这个b, 的满射性， ： 使得 f(a)=b. 由合成定理有 g ∘ f (a)=g(f(a))=g(b)=c 是满射的. 从而证明了 f ∘g：A→C是满射的 ： 是满射的
函数复合与反函数的计算
是实数集， 例：设R是实数集，且f,g,h是R到R的函数其中 是实数集 是 到 的函数其中 f(x)=1+x,g(x)=1+x2,h(x)=1+x3, 求 f ∘ g, g ∘ f， (f ∘g)∘h 和 f ∘(g∘h). ， 解： f ∘ g(x)=f(1+x2)=2+x2 g ∘f(x)=g(1+x)=1+(1+x)2 (f ∘g)∘h(x)=(f ∘g)∘ (1+x3)=2+ (1+x3)2 f ∘(g∘h)(x)=f(1+(1+x3)2)=2+(1+x3)2