( f g )( x ) f ( x ) g( x ) ，x D 函数的积 f g ( f g )( x ) f ( x ) g( x ) ，x D f f f ( x) 函数的商 ( )( x ) g g g( x ) x D \ { x | g( x ) 0}
显然 f ( x ) g( x ) h( x ) . 1 g ( x ) [ f ( x ) f ( x )] g ( x ) 是偶函数 ， 2 1 h( x ) [ f ( x ) f ( x )] h( x ) 是奇函数 . 2
四、初等函数
基本初等函数 幂函数 y x ( 是常数) x y a (a是常数, a>0, a 1) 指数函数 对数函数 y loga x(a是常数, a>0, a 1) 三角函数 y= sin x, y= cos x, y= tan x, y= cot x y = arcsin x, y = arccos x, 反三角函数
第三节 复合函数与反函数
一、复合函数 二、反函数 三、函数的运算
四、初等函数
五、小结 思考题
一、复合函数(compound function)
设 y u, u 1 x ,
2
y 1 x2
Rg ，则称
定义:设有函数 f 和 g ，D f
定义在 {x | x Dg , g ( x) D f } 上的函数 f g 为 f 和 g 的
是反函数的值域，原函数值域是反函数定义域， 因此，y arcsin x定义域为 -1,1 , 值域为 , . 2 2 类比求出 y arccos x, y arctan x, y arccot x, 定义域和值域.
例6 由于 yn x n 在 R + 上严格增,因此 yn 的反函
( x)
Q ( b, a )
o
直接函数y f ( x ) P (a , b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x 对称.
定理1
设 y f ( x ), x D为严格增函数, 则 f 必
有反函数 f 1 , 且 f 1在其定义域 f ( D)上也是严格
增函数 .
类似地, 严格减函数 f 必有反函数 f , 且 f 在其
1
y1 y2 ,
1
x1 f ( y1 y2 及 f 的严格增性, 必有 x1 x2 , 即
f 1 ( y1 ) f 1 ( y2 ), 因此 f 1也是严格增函数.
重要例题 y sin x在 , 严格增，则y sin x 2 2 在 , 具有反函数y arcsin x .根据原函数定义 2 2
二、反函数(inverse function)
设函数 f : D f ( D) 是单射，则它存在逆映 射
f
1
: f ( D ) D , 称此映射f 为函数f的 反函数.
y
1
函数 y f ( x )
y0
y
反函数 x ( y )
y0
W
W
o
x0
x
o
x0
x
D
D
y 反函数y f
1
注 函数的严格单调性是它存在反函数的充分条 件，而不是必要条件。例如，函数
x 1, -1 x 0 y ｘ， ０ｘ１
三、函数的运算
设函数 f ( x ) , g( x ) 的定义域分别是D1 、D2 , D D1 D2 ，则我们可以定义这两 个函数
复合函数 其中
( f g )(x) f ( g ( x))
x 自变量, u 中间变量, y 因变量
例1 u g ( x ) 2 x
2
, y f ( u) ln u ,
则 Rg [2, ) D f ,
因此能够形成复合函数
( f g )( x) ln( 2 x )
f ( x ) g( x ) h( x ) f ( x ) g( x ) h( x ) g( x ) h( x )
证明:
1 g ( x ) [ f ( x ) f ( x )] 2 设 h( x ) 1 [ f ( x ) f ( x )] 2
数 zn x 在 R + 上严格增, 故对任意有理数 n r r , y x 在 R + 上亦为严格增. m
1/ n
例2
求函数 y e x 1 的反函数 .
x 2 解: e y 1
x ln( y 2 1) y e x 1 1 ，即原函数的值域为(1 , ) 反函数为 y ln( x 2 1) D f 1 (1 , )
2
注意: 1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数.
例如 y arcsinu, u 2 x 2 ; y arcsin( 2 x 2 )
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.
x x 例如 y cot , y u , u cot v , v . 2 2
3. f g g f .
的下列运算： 函数的和（差） f g
例3
设函数 f ( x ) 的定义域为( l , l )，证明必 定存在 ( l , l ) 上的偶函数 g( x ) 及奇函数 h( x ) , 使得 f ( x ) g( x ) h( x ) .
分析 如果这样的 g ( x ) 和 h( x ) 存在 ，于是有
定义域上也是严格减函数.
1
1
证 设 f 在 D 上严格增, 则 y f ( D) 只有一个
x D, 使 f ( x ) y .
事实上,若 x1 x2 , 使 f ( x1 ) y f ( x2 ), 则与 f
的严格增性质相矛盾 . 再证 f 1必是严格增的 :
y1 , y2 f ( D),