定理5: 定理6:
设函数f:X→Y，则f＝foIX＝IYof。
设函数f:X→Y有逆函数f－1:Y→X，则 f－1of＝IX 且 fof－1＝IY 分析 f－1of 和 IX都是函数，只要证明它们： (1)域相同； 证明见书P154 (2)对应规则相同。
例： 令f:｛0,1,2｝→｛a,b,c｝，其定义如下图所示： f 0 1 2 f－1
每一部 分的逆 都不真
证明见书P153
定理4*：令gof是复合函数，则 (1)若gof 是满射的,则g是满射的； (2)若gof 是入射的,则f是入射的； (3)若gof 是双射的,则g是满射的，f是入射的。 例： 设R为实数集合,对x∈R有f(x)＝x＋2，g(x)＝x－1， h(x)＝3x。求gof、hog、ho(gof)与(hog)of。 gof ＝ ｛<x , x+1>|x∈R｝ 函数的复合是 hog ＝ ｛<x, 3x-3>|x∈R｝ 可结合的 ho(gof) ＝ ｛<x, 3x+3>|x∈R｝ (hog)of ＝ ｛<x, 3x+3>|x∈R｝ 定义3 函数f:X→Y叫做常函数，如果存在某个y0∈Y， 对于每个x∈X都有f(x)= y0，即f(X)=｛y0｝。 定义4 数。 如果IX＝｛<x,x>|x∈X｝则称IX：X→X为恒等函
分析 ： (1)证明f c 是函数 (2)证明f c 是双射 证明见书P152
定义1
设f：X Y 是一双射函数，称 YX 的双射函 数f c为f 的逆函数，记作f -1 。
注意：当且仅当f 是双射函数时逆函数才有意义。
定义2 设函数f:X→Y,g:W→Z,若 f(X)W 则 g o f = {<x,z> | x∈X∧z∈Z∧(y)(y∈Y∧ y = f(x)∧ z =g(y)}称g在函数f 的左边可复合。 注意写法与关 系的复合不同。 定理2 两个函数的复合是一个函数。 分析 ： g o f：X → Z (1)证明每一个x有z与之对应。 (2)证明每一个x有唯一的z与之对应。 证明见书P153 假如没有 f(X)W则 g o f为空
4-2逆函数和复合函数
f：A到B 的函数 f c：B 到A 的函数 f ：A 到B 的关系 f c：B 到A 的关系
例：A={a,b,c},B={1,2,3},f={<a,3>,<b,3>,<c,1>} f c ={<3,a>,<3,b>,<1,c>} f c不是函数 定理1 设f：X Y 是一双射函数，那么f c 是Y X 的双射函数。
说明： 在定义2中，当W＝Y时，则函数f:X→Y,g:Y→Z g o f = {<x,z> | x∈X∧z∈Z∧(y)(y∈Y∧ y = f(x) ∧z =g(y)}称为复合函数或g对f的左复合。 根据复合函数的定义有： gof (x) ＝ g (f (x)) 例: 设集合A={1,2,3},A上的两个函数: f={<1,3>,<2,1>,<3,2>}, g={<1,2>,<2,1>,<3,3>}，求函数复合： fog＝ {<1,1>,<2,3>,<3,2>} gof= fof= {<1,3>,<2,2>,<3,1>} {<1,2>,<2,3>,<3,1>}
fofof= {<1,1>,<2,2>,<3,3>}
例:
设g：{0,1,2}→ N，定义为g(x)= x+1, f:N → N，定义为f(x)= 3x+2，则：
fog (x) ＝ f(g (x)) ＝ 3g(x)＋2＝3(x+1)+2 ＝3x＋5 gof (x) 为空（ranf domg） 定理3：令gof是一个复合函数，则 (1)若g 和f 是满射的,则 gof 是满射的； (2)若g 和f 是入射的,则 gof 是入射的； (3)若g 和f 是双射的,则 gof 是双射的。 分析 ：f：X → Y g ：Y → Z gof ：X → Z (1)证明每一个z有x与之对应。 (2)证明不同的x有不同的z与之对应。 (3)由(1) (2)可得。
a b c
0 1 2
a b c
f－1of 0 1 2
fof－1
a b c
定理7
若f:X→Y是一一对应的函数（双射函数），则 （f－1）－1 ＝ f。 证明见书P155 若f:X→Y，g:Y→Z均为双射函数，则 (gof)－1 ＝ f－1 o g－1 证明见书P155 作业P156(3)
定理8
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