第十二章推理与证明考纲解读分析解读本部分是新课标内容,高考考查以下几个方面:1.归纳推理与类比推理以选择题、填空题的形式出现,考查学生的逻辑推理能力,而演绎推理多出现在立体几何的证明中;2.直接证明与间接证明作为证明和推理数学命题的方法,常以不等式、立体几何、解析几何、函数为载体,考查综合法、分析法及反证法.本节内容在高考中的分值分配:①归纳推理与类比推理分值为5分左右,属中档题;②证明问题以解答题形式出现,分值为12分左右,属中高档题.五年高考考点一合情推理与演绎推理1.(2016北京,8,5分)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则( )A.2号学生进入30秒跳绳决赛B.5号学生进入30秒跳绳决赛C.8号学生进入30秒跳绳决赛D.9号学生进入30秒跳绳决赛答案 B2.(2017北京,14,5分)某学习小组由学生和教师组成,人员构成同时满足以下三个条件:(i)男学生人数多于女学生人数;(ii)女学生人数多于教师人数;(iii)教师人数的两倍多于男学生人数.①若教师人数为4,则女学生人数的最大值为;②该小组人数的最小值为.答案①6 ②123.(2016课标全国Ⅱ,16,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.答案1和34.(2016山东,12,5分)观察下列等式:π-+π-=×1×2;π-+π-+π-+π-=×2×3;π-+π-+π-+…+π-=×3×4;π-+π-+π-+…+π-=×4×5;……照此规律,π-+π-+π-+…+π-= .答案5.(2015陕西,16,5分)观察下列等式1-=1-+-=+1-+-+-=++……据此规律,第n个等式可为.答案1-+-+…+--=++…+6.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案 A教师用书专用(7—11)7.(2014福建,16,4分)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于.答案2018.(2013湖北,17,5分)在平面直角坐标系中,若点P(x,y)的坐标x,y均为整数,则称点P为格点.若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4.(1)图中格点四边形DEFG对应的S,N,L分别是;(2)已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c,其中a,b,c为常数.若某格点多边形对应的N=71,L=18,则S= (用数值作答).答案(1)3,1,6 (2)799.(2013陕西,13,5分)观察下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此规律,第n个等式可为.答案(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)10.(2014江西,21,14分)将连续正整数1,2,…,n(n∈N*)从小到大排列构成一个数…,F(n)为这个数的位数(如n=12时,此数为123 456 789 101 112,共有15个数字,F(12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p(n)为恰好取到0的概率.(1)求p(100);(2)当n≤2 014时,求F(n)的表达式;(3)令g(n)为这个数中数字0的个数, f(n)为这个数中数字9的个数,h(n)=f(n)-g(n),S={n|h(n)=1,n≤100,n∈N*},求当n∈S时p(n)的最大值.解析(1)当n=100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p(100)=.(2)F(n)=---(3)当n=b(1≤b≤9,b∈N*)时,g(n)=0;当n=10k+b(1≤k≤9,0≤b≤9,k∈N*,b∈N)时,g(n)=k; 当n=100时,g(n)=11,即g(n)=∈∈同理有f(n)=-∈∈-由h(n)=f(n)-g(n)=1,可知n=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90.所以当n≤100时,S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.当n=9时,p(9)=0;当n=90时,p(90)===;当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)==-=,由于y=关于k单调递增,故当n=10k+9(1≤k≤8,k∈N*)时,p(n)的最大值为p(89)=.又<,所以当n∈S时,p(n)的最大值为.11.(2013江西,21,14分)设函数f(x)=--a为常数且a∈(0,1).(1)当a=时,求f;(2)若x0满足f(f(x0))=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1, f(f(x1))),B(x2, f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为S(a),求S(a)在区间上的最大值和最小值.解析(1)当a=时, f=,f=f=2-=.(2)f(f(x))=当0≤x≤a2时,由x=x解得x=0,因为f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;当a2<x≤a时,由-(a-x)=x解得x=-∈(a2,a),因f-=·-= -≠-,故x=-为f(x)的二阶周期点;当a<x<a2-a+1时,由-(x-a)=x解得x=-∈(a,a2-a+1),因f-=-·--=-,故x=-不是f(x)的二阶周期点;当a2-a+1≤x≤1时,由-(1-x)=x解得x=-∈(a2-a+1,1),因f-=-·--= -≠-,故x=-为f(x)的二阶周期点.因此,函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,x1=-,x2=-.(3)由(2)得A--,B--,则S(a)=·--,S'(a)=·---,因为a∈,a2+a<1,所以S'(a)=·---=·---->0.或令g(a)=a3-2a2-2a+2,g'(a)=3a2-4a-2=3---,因a∈(0,1),g'(a)<0,所以g(a)在区间上的最小值为g=>0,故对于任意a∈,g(a)=a3-2a2-2a+2>0,S'(a)=·--->0.则S(a)在区间上单调递增,故S(a)在区间上的最小值为S=,最大值为S=.考点二直接证明与间接证明1.(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案 A2.(2013四川,10,5分)设函数f(x)=-(a∈R,e为自然对数的底数).若存在b∈[0,1]使f(f(b))=b成立,则a的取值范围是( )A.[1,e]B.[1,1+e]C.[e,1+e]D.[0,1]答案 A3.(2016江苏,20,16分)记U={1,2,…,100}.对数列{a n}(n∈N*)和U的子集T,若T=⌀,定义S T=0;若T={t1,t2,…,t k},定义S T=++…+.例如:T={1,3,66}时,S T=a1+a3+a66.现设{a n}(n∈N*)是公比为3的等比数列,且当T={2,4}时,S T=30.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)对任意正整数k(1≤k≤100),若T⊆{1,2,…,k},求证:S T<a k+1;(3)设C⊆U,D⊆U,S C≥S D,求证:S C+S C∩D≥2S D.解析(1)由已知得a n=a1·3n-1,n∈N*.于是当T={2,4}时,S T=a2+a4=3a1+27a1=30a1.又S T=30,故30a1=30,即a1=1.所以数列{a n}的通项公式为a n=3n-1,n∈N*.(2)因为T⊆{1,2,…,k},a n=3n-1>0,n∈N*,所以S T≤a1+a2+…+a k=1+3+…+3k-1=(3k-1)<3k.因此,S T<a k+1.(3)下面分三种情况证明.①若D是C的子集,则S C+S C∩D=S C+S D≥S D+S D=2S D.②若C是D的子集,则S C+S C∩D=S C+S C=2S C≥2S D.③若D不是C的子集,且C不是D的子集.令E=C∩∁U D,F=D∩∁U C,则E≠⌀,F≠⌀,E∩F=⌀.于是S C=S E+S C∩D,S D=S F+S C∩D,进而由S C≥S D得S E≥S F.设k为E中的最大数,l为F中的最大数,则k≥1,l≥1,k≠l.由(2)知,S E<a k+1.于是3l-1=a l≤S F≤S E<a k+1=3k,所以l-1<k,即l≤k.又k≠l,故l≤k-1.从而S F≤a1+a2+…+a l=1+3+…+3l-1=-≤--=-≤-,故S E≥2S F+1,所以S C-S C∩D≥2(S D-S C∩D)+1,即S C+S C∩D≥2S D+1.综合①②③得,S C+S C∩D≥2S D.教师用书专用(4—5)4.(2014天津,20,14分)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n-1,x i∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t. 解析(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,x i∈M,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,a i,b i∈M,i=1,2,…,n及a n<b n,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n-b n)q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=-----q n-1=-1<0.所以,s<t.5.(2013湖北,20,13分)如图,某地质队自水平地面A,B,C三处垂直向地下钻探,自A点向下钻到A1处发现矿藏,再继续下钻到A2处后下面已无矿,从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1.同样可得在B,C处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3.过AB,AC的中点M,N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1-A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面,其面积记为S中.(1)证明:中截面DEFG是梯形;(2)在△ABC中,记BC=a,BC边上的高为h,面积为S.在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量(即多面体A1B1C1-A2B2C2的体积V)时,可用近似公式V估=S中·h来估算.已知V=(d1+d2+d3)S,试判断V估与V的大小关系,并加以证明.解析(1)依题意A1A2⊥平面ABC,B1B2⊥平面ABC,C1C2⊥平面ABC,所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3,因此四边形A1A2B2B1,四边形A1A2C2C1均是梯形.由AA2∥平面MEFN,AA2⊂平面AA2B2B,且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME,可得AA2∥ME,即A1A2∥DE.同理可证A1A2∥FG,所以DE∥FG.又M,N分别为AB,AC的中点,则D,E,F,G分别为A1B1,A2B2,A2C2,A1C1的中点,即DE,FG分别为梯形A1A2B2B1,梯形A1A2C2C1的中位线.因此DE=(A1A2+B1B2)=(d1+d2),FG=(A1A2+C1C2)=(d1+d3),而d1<d2<d3,故DE<FG,所以中截面DEFG是梯形.(2)V估<V.证明如下:由A1A2⊥平面ABC,MN⊂平面ABC,可得A1A2⊥MN.而EM∥A1A2,所以EM⊥MN,同理可得FN⊥MN.由MN是△ABC的中位线,可得MN=BC=a, 即为梯形DEFG的高,因此S中=S梯形DEFG=·=(2d1+d2+d3),即V估=S中·h=ℎ(2d1+d2+d3).又S=ah,所以V=(d1+d2+d3)S=ℎ(d1+d2+d3).于是V-V估=ℎ(d1+d2+d3)-ℎ(2d1+d2+d3)=ℎ[(d2-d1)+(d3-d1)].由d1<d2<d3,得d2-d1>0,d3-d1>0,故V估<V.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一合情推理与演绎推理1.(2018江西上饶一模,7)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试,考试结束后老师向四名学生了解考试情况,四名学生的回答如下:甲说:“我们四人都没考好.”乙说:“我们四人中有人考得好.”丙说:“乙和丁至少有一人没考好.”丁说:“我没考好.”成绩出来后发现,四名学生中有且只有两人说对了,他们是( )A.甲、丙B.乙、丁C.丙、丁D.乙、丙答案 D2.(2018福建六校联考,16)图甲是应用分形几何学作出的一个分形规律图,按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图,我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数(横坐标表示白圈的个数,纵坐标表示黑圈的个数),比如第1行记为(0,1),第2行记为(1,2),第3行记为(4,5),照此下去,第5行中白圈与黑圈的“坐标”为.答案(40,41)3.(2017河北邯郸质检,15)2016年6月23日15时前后,江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击,风力达12级.灾害发生后,有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A,B,C,D四个不同的方向前往灾区.已知下面四种说法都是正确的:(1)甲轻型救援队所在方向不是C方向,也不是D方向;(2)乙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;(3)丙轻型救援队所在方向不是A方向,也不是B方向;(4)丁轻型救援队所在方向不是A方向,也不是D方向.此外还可确定:如果丙所在方向不是D方向,那么甲所在方向就不是A方向,有下列判断:①甲所在方向是B方向;②乙所在方向是D方向;③丙所在方向是D方向;④丁所在方向是C方向.其中判断正确的序号是.答案③4.(2017广东七校第二次联考,15)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型:数字1出现在第1行;数字2,3出现在第2行,数字6,5,4(从左至右)出现在第3行;数字7,8,9,10出现在第4行,……,依此类推,则第20行从左到右第4个数字为.答案1945.(人教A选1—2,二,1,例7,变式)证明函数f(x)=-x3+3x在(2,+∞)内是增函数.证明 f '(x)=-3x2+3=-3(x2-1)=-3(x+1)(x-1).当x>2时,(x+1)(x-1)>0,∴f '(x)=-3(x+1)(x-1)<0.∴f(x)=-x3+3x在(2,+∞)内是增函数.考点二直接证明与间接证明6.(2018吉林三校联考,4)用反证法证明“自然数a,b,c中至多有一个偶数”时,假设原命题不成立,等价于( )A.a,b,c中没有偶数B.a,b,c中恰好有一个偶数C.a,b,c中至少有一个偶数D.a,b,c中至少有两个偶数答案 D7.(2017山西大学附中第二次模拟,17)在等比数列{a n}中,a3=,S3=.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log2,且{b n}为递增数列,若c n=·,求证:c1+c2+c3+…+c n<. 解析(1)设{a n}的公比为q(q≠0).∵a3=,S3=,∴-·⇒或-∴a n=或a n=6--.(2)证明:由题意知b n=log2=log2-=log222n=2n,∴c n=·==-,∴c1+c2+c3+…+c n=--…-=-=-<.8.(2016河南南阳期中,18)已知数列{log2(a n-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明-+-+…+-<1.解析(1)设等差数列{log2(a n-1)}的公差为d. 由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,故d=1. 所以log2(a n-1)=1+(n-1)×1=n,即a n=2n+1.(2)证明:因为-=-=,所以-+-+…+-=+++…+=--=1-<1,原不等式得证.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:30分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018辽宁大连调研,5)如图,A,B,C三个开关控制着1,2,3,4号四盏灯.若开关A控制着2,3,4号灯(即按一下开关A,2,3,4号灯亮,再按一下开关A,2,3,4号灯熄灭),同样,开关B控制着1,3,4号灯,开关C控制着1,2,4号灯.开始时,四盏灯都亮着,那么下列说法正确的是( )A.只需要按开关A,C,可以将四盏灯全部熄灭B.只需要按开关B,C,可以将四盏灯全部熄灭C.按开关A,B,C,可以将四盏灯全部熄灭D.按开关A,B,C,无法将四盏灯全部熄灭答案 D2.(2017辽宁六校期中联考,10)已知整数对按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),……,则第60个数对是( )A.(10,1)B.(2,10)C.(5,7)D.(7,5)答案 C二、填空题(共5分)3.(2017山东济宁3月模拟,11)已知a i>0(i=1,2,3,…,n),观察下列不等式:≥;≥;≥;……照此规律,当n∈N*,n≥2时,…≥.答案…三、解答题(共15分)4.(2017湖北华中师大一附中期中模拟,21)已知函数f(x)=ln x+.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当a=2时,函数f(x)满足f(x1)=f(x2)(x1≠x2),求证x1+x2>4.参考公式为常数解析(1)∵f(x)=ln x+,∴f '(x)=-=-,x>0,当a≤0时, f '(x)≥0总成立;当a>0时,令f '(x)=0,得x=a.当x∈(0,a)时, f '(x)<0;当x∈(a,+∞)时, f '(x)>0.综上所述,当a≤0时, f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时, f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.(2)当a=2时, f(x)=ln x+.不妨令x1<x2,且x2>x1>0,要证明x1+x2>4,即证x2>4-x1.由(1)知f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,则0<x1<2,x2>2,只需证f(x2)>f(4-x1),又f(x1)=f(x2),即证f(x1)>f(4-x1).设g(x)=f(x)-f(4-x)(0<x<2),则g(x)=ln x+-ln(4-x)--,则g'(x)=-----=---<0,所以g(x)在(0,2)内单调递减,所以g(x)>g(2)=0,所以f(x)>f(4-x)(0<x<2),故证得f(x2)>f(4-x1).所以x1+x2>4.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 合情推理与演绎推理1.(2018广东肇庆一模,14)观察下列不等式:1+<,1++<,1+++<,……,照此规律,第五个不等式为.答案1+++++<2.(2017上海浦东期中联考,12)在Rt△ABC中,两直角边长分别为a、b,设h为斜边上的高,则ℎ=+,由此类比:三棱锥P-ABC中的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直,且长度分别为a、b、c,设棱锥底面△ABC上的高为h,则.答案ℎ=++方法2 直接证明的方法3.(2017皖南八校联考,17)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,b n=,且a2·b2=,S5=.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)求证:b1+b2+…+b n<.解析(1)设{a n}的公差为d.∵b n=,a2·b2=,S5=,∴·解得∴a n=n+,S n=,∴b n=.(2)证明:b1+b2+…+b n=+++…+=1-+-+-+…+--+-=--<.。