推理与证明
一、核心知识
1.合情推理
（1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
（2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。
类比推理是由特殊到特殊的推理。
2.演绎推理
(1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。
演绎推理是由一般到特殊的推理。
(2)演绎推理的主要形式：三段论
“三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。
其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。
3.直接证明
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。
直接证明包括综合法和分析法。
（1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。
（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。
要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。
4反证法
（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。
（2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。
（3）反证法的思维方法:正难则反
5．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤
(1)证明：当 n 取第一个值 n0（n0∈N*）时命题成立；
(2)假设当 n=k (k ∈N*，且 k≥n0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立 由(1)，(2)可知，命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都正确。
二、典型例题 例1. 已知2()
(1),(1)1()2
f x f x f f x +==+ *x N ∈（）
，猜想(f x ）的表达式为（ ） A.4()22x f x =
+； B.2()1f x x =+； C.1()1f x x =+； D.2
()21
f x x =+. 例2. 已知*111()1()23f n n N n =++++∈L ，计算得3(2)2f =，(4)2f >，5
(8)2f >，(16)3f >，
7
(32)2
f >
，由此推测：当2n ≥时，有 例3. 已知：23150sin 90sin 30sin 222=++οοο； 2
3
125sin 65sin 5sin 222=++οοο
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：________________________________________=
2
3
（ * ）并给出（ * ）式的证明.例4．若c b a ,,均为实数，且6
2,3
2,2
2222πππ+-=+-=+-=x z c z y b y x a 。
求证：c b a ,,中至少有一个大于0。
例5.求证：1+3+5+…+（2n+1）=（n ∈N*）
三、课后练习
1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式可能是( ) A.⎩⎨⎧
a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *
)
B.⎩⎨⎧
a 1＝1，
a n ＝a n －1＋n (n ∈N *
，n ≥2)
C.⎩⎨⎧
a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n －1)(n ∈N *
)
D.⎩⎨⎧
a 1＝1，
a n ＝a n －1＋(n －1)(n ∈N *
，n ≥2)
2．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)
2
(n ∈N *)时，验证n ＝1，左
边应取的项是( )
A ．1
B ．1＋2
C ．1＋2＋3
D ．1＋2＋3＋4 3．已知f (n )＝1
n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
n 2，则( )
A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3
B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1
3
D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1
4
4．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( )
A ．大于0
B ．小于0
C ．不小于0
D ．不大于0
5．已知c ＞1，a ＝c ＋1－c ，b ＝c －c －1，则正确的结论是( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝b D ．a 、b 大小不定 6．若
sin A
a
＝
cos B
b
＝
cos C
c
，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．有一个内角是30°的直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．有一个内角是30°的等腰三角形 7.观察式子：474
131211,3531211,23211222222<+++<++<
+，…，则可归纳出式子为（ ）A 、121131211222-<+++n n Λ B 、121
131211222+<+++n n ΛC 、n n n
1213
12
112
2
2
-<
++
+
Λ
D 、122131211222+<+++n n
n
Λ8.设)()(,cos )('
010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x =L '1()()n n f x f x +=，n ∈N ，则=)(2008x f 9.函数()f x 由下表定义：
若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n =L ，则2007a = ． 10.在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为_____．
11．同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖___________块．（用含n 的代数式表示）48n +
12. △ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，求证：c
b a
c b b a ++=
+++3
11。
13.用分析法证明：若a >0，则21
212
2-+
≥-+
a
a a a 。
14.ABC ∆中，已知B a b sin 323=，且C A cos cos =，求证：ABC ∆为等边三角形。
15．已知：a 、b 、c ∈R，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：a 2＋b 2＋c 2≥1
3.。