数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
第二章 分离变量法
一、有界弦的自由振动 二、有限长杆上的热传导 三、拉普拉斯方程的定解问题 四、非齐次方程的解法 五、非齐次边界条件的处理 六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u t2
a2
2u x2
,
0xl,t 0
其中： A nC n 2 D n 2
na nl
n a rc ta nC D n n
x=x0时： un(x0,t)A nsinn l x0cos(ntn)
t=t0时： un(x,t0)A ncos(nt0n)sinn l x (n1,2,3, )
sin n x
l
n
2 n
l
l
fn
n 2
na t
na t
T n ( t) C 'n c o sl D 'n s inl ( n 1 ,2 ,3 , ) n a n a n
u n ( x ,t ) ( C n c o slt D n s i n lt ) s i n lx( n 1 ,2 ,3 ,)
u(x,t)un(x,t)
n1
▪确定常数 Cn2 l 0l(x)sin nlxdx D nn 2a0 l(x)sin nlxdx
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2 解的性质
un(x,t)(CncosnlatDnsinnlat)sinnlxAncos(ntn)sinnlx
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X ''( x ) X ( x ) 0 X ( 0 ) 0 ,X ( l ) 0
特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程在一定条
件下的求解问题
特征（固有）值：使方程有非零解的常数值
特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解
分情况讨论：
1） 0
X(x)AexBex
C
m
Cm2 l 0l(x)sin m lxdx
Cn2 l 0l(x)sin nlxdx D nn 2a0 l(x)sin nlxdx
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
u(2t0u2,t)a20,ux2u2(l,,t)0,
0xl,t 0 t 0
u(x,0)(x),u(xt,0) (x), 0xl
n 1(CncosnlatD nsinnlat)sinnlx (n1,2,3, )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
un 1(C nco n la st D nsin ln at)sin lnx
u(x,t)t 0u(x,0 )n 1C nsinn l x(x) u(x t,t)t0n 1D nnlasinnlx(x)
•适用范围： 波动问题、热传导问题、稳定场问题等
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
一 有界弦的自由振动
1 求两端固定的弦自由振动的规律
2u a2 2u,
t2
x2
0xl,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
令 u(x,t)X(x)T(t)
带入方程： X(x)T''(t)a2X''(x)T(t)
令
X ''(x) T ''(t) X (x) a2T(t)
X ''( x ) X ( x ) 0T ''( t) a 2 T ( t) 0
带入边界条件 X (0 ) T ( t) 0 , X ( l) T ( t) 0
X(0)0, X(l)0
Байду номын сангаас
na 2l
v
fnn
na 2l
2l n
a
T
驻波法
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初
位移为(x)x(10x)1000 ，求弦作微小横向振动时的位移。
u(t20u2,t)10u4(1x2u02,t,)0,
0x10,t 0 t 0
u(x,0)x(11000x)0,u(xt,0)0, 0x10
AB0
AB0
Ae l Be l 0
X0
2） 0 X(x)AxB
AB0 X0
3） 0 令 2 ， 为非零实数 X (x ) A c o sx B s inx
A0 B sin l 0
n (n1,2,3, )
l
n2 2
l2
n
n22
l2
(n1,2,3, )
n
X n(x)B nsinl x (n1 ,2,3 , )
解： u(x,t)X(x)T(t)
u(0 ,t)X (0 )T (t)0 X(0)0
0 lsin 2n lx d x 0 l1 c o s2 2 n /ld x 2 l
0 ls i n n lx s i n m lx d x 1 2 0 l c o s n lm x c o s n lm x d x 0
l 0
(x )sim lnx d x0 ln 1 C nsin ln x sim lnx d x 2l
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u t2
a2
2u x2
,
0xl,t 0
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
T''n(t)a2nl222Tn(t)0
X''(x)X(x)0
T''(t)a2T(t)0
X nn(xn)2 l2B 2nsi(n nn l1x ,2,3(,n )1 ,2,3 ,
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t 0
u(x,0) (x),
u(x,0) (x),
0 x l
t
•基本思想：
首先求出具有变量分离形式且满足边界条件的特解，然后
由叠加原理作出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件
确定叠加系数。
•特点： a.物理上由叠加原理作保证，数学上由解的唯一性作保证； b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。
▪分离变量 u(x,t)X(x)T(t) XX0 Ta2T0
▪▪▪求求求特 另 通征一解值个u和函特数n1征un函数n1T Xnn TnC n c nn 1o (C n n ln s a c /tl o 2n D la n sst Xin D nn (ln xa s)tin Bn lna st) is nnlin xlnx