0,
0 x l,t 0 t0 0 xl
解： u(x,t) X (x)T (t)
u(0,t) X (0)T (t) 0
X (0) 0
XT a2 X T
X X
1 a2
T T
X X 0 T a2T 0
u(l,t) X (l)T (t) 0 x
X X 0, 0 x 10
2a2
n (2n 1)2 2 / 4l 2 (2n 1)
Xn (x) Bn sin 2l Tn 0
x
Tn
Cn
cos
(2n
1) a
2l
t
Dn
sin
(2n
1)
2l
a
t
n 1, 2,3,L
un X nTn
(2n 1) a
(2n 1) a (2n 1)
(Cn cos
2l
t Dn sin
2l
t ) sin
XT 104 X T
u(10,t) X (10)T (t) 0
X (0) 0 X (10) 0
X X
1 104
T T
X X 0, 0 x 10
X (0) 0,
X (10) 0
X X 0
T 104T 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X X 0,
l
1
cos 2n
/
l
dx
l
0
l
0
2
2
l n
sin
0
l
x sin m
l
xdx 1 2
l 0
cos
n
l
m
x
cos
n
l
m
xdx
0
l(x)sin m
0
l
xdx
l
n
0 Cn sin n1
l
x sin m
l
xdx
l 2
Cm
Cm
2 l
l (x)sin m
0
l
xdx
2
Dn na
l
(
x)
sin
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
t0
u(x, 0) (x),
u(x, 0) (x),
0 xl
t
a2n2 2
T ''n (t) l2 Tn (t) 0
X ''(x) X (x) 0
T ''(t) a2T (t) 0
n
n2
l2
2
(n 1, 2,3,L )
n
Xn (x) Bn sin l x (n 1, 2,3,L )
x(10 x) 1000
,
u(x,0) t
0,
0 x 10,t 0 t0 0 x 10
X X 0, 0 x 10
X (0) 0,
X (10) 0
n n2 2 /100 , n 1,2,3,
X n (x)
Bn
sin
n
10
x
T 104T 0 Tn 100 n2 2Tn 0 Tn Cn cos10nt Dn sin10nt
l
(x)
sin
n
0
l
xdx
分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2 解的性质
un (x,t)
(Cn
cos
n
l
a
t
Dn
sin
n a t)sin
l
n
l
x
An
cos(nt
n )sin
n
l
x
其中： An Cn2 Dn2
n
n a
l
n
arctan
Dn Cn
l
n
l
x
(n 1, 2,3,L )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
u
(Cn
n1
cos na t
l
Dn sin
na t) sin
l
n
l
x
u( x, t ) t0
u(x, 0)
Cn sin
n1
n
l
x
(x)
u ( x, t )
t
t0
n1
Dn
n a
l
sin
n
l
x
(x)
l sin2 n xdx
2l
t sin
x
2l
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
例3 求下列定解问题
u ( x,0)
n1
Cn
n 1
s in 10 nx
x(10 1000
x)
n
10
x
Cn
2 10
10 x(10 x) n
sin
0 1000
10
xdx 1 5000
10
n
x(10 x)sin
0
10
xdx
2
5n3
3
(1
cosn
)
0， 4
5n3 3
，
n为偶数 n为奇数
u(x,0)
t
n1
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u
t
2
a2
2u x2
,
0
x l,t 0
X X 0,
X
(0)
0,
0 xl X (l) 0
u(0,
t)
0,
u(l, x
t)
0,
u(x, 0)
x2
2lx,
u(x, 0) t
T a2T 0
t0
0, 0 x l
Tn
(2n
1)2
4l 2
n2 2
l2
n
n2
l2
2
(n 1, 2,3,L )
n
Xn (x) Bn sin l x (n 1, 2,3,L )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
Xn (x)
Bn
sin
n
l
x
(n 1, 2,3,L )
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u t 2
a2
2u x2
,
0 x l,t 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
第二章 分离变量法
一、有界弦的自由振动 二、有限长杆上的热传导 三、拉普拉斯方程的定解问题 四、非齐次方程的解法 五、非齐次边界条件的处理 六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
一、有界弦的自由振动
2u t 2
a2
于是得到一系列分离变量形式的特解
un
X nTn
Bn
sin
n
10
x(Cn
(Cn cos10nt
cos10nt Dn sin10nt)
Dn
sin 10nt ) sin
n
10
x
这些特解满足方程和齐次边界条件，但不满足初始条件。由
线性方程的叠加原理，设原问题的解为
u
un
n 1
(Cn
n 1
cos10 nt
n
0
l
xdx
2
Cn l
l (x) sin n
0
l
xdx
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
2u u(t02,
t)
a2
2u x2
,
0,u(l,
t
)
0,
u ( x,0)
(x),
u ( x,0) t
(
x),
0 x l,t 0 t0 0 xl
▪分离变量 u(x,t) X (x)T (t) X X 0 T a2T 0
X (0) 0, X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
X ''(x) X (x) 0 X (0) 0, X (l) 0
特征（固有）值问题：含有待定常数的常微分方程在一定
条件下求非零解的问题
特征（固有）值：使方程有非零解的常数值
特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解
分情况讨论：
b.把偏微分方程化为常微分方程来处理，使问题简单化。 •适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等
数学物理方程与特殊函数
第2章分离变量法
1、 求两端固定的弦自由振动的规律
2u a2 2u ,
t 2
x2
u(0,t) 0, u(l,t) 0,
0 x l,t 0 t 0
u(x, 0) (x),
X
(0)
0,
X (l) 0
X (l) 0
数学物理方程与特殊函数
X X 0,
X
(0)
0,
2 0 X 2 X 0
X (0) A B 0
AB0
0
X 0 AB0
第2章分离变量法
0 xl X (l) 0 X (x) Ae x Be x X (l) A el B el 0 X (x) 0
x=x0时：
un (x0,t)
An
sin
n
l
x0
cos(nt
n )
t=t0时：
un (x,t0 )
An
cos(nt0
n )sin
n
l
x
(n 1, 2,3,L )
sin n x
l
n
2 n
l
l