平方根和立方根
一、知识要点
1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。

因此：
① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

③ 当0<a 时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

2、算术平方根
（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例1 求下列各数的算术平方根
（1）64；（2）2)3(-；（3）49
151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.
解：（1）因为6482
=，所以64的算术平方根是8，即864=；
（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-；
（3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是 3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似7
4149161=的错误. 例2 求下列各式的值
（1）81±； （2）16-； （3）25
9； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；25
9表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.
解：（1）因为8192
=，所以±81=±9.
（2）因为1642=，所以－416-=. （3）因为2
53⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=5
3. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-. 3、立方根
（1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。

记做：3
a ，读作，3次根号a 。

注意：这里的3表示的是开根的次数。

一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

（2）平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

例
（1）64的立方根是
（2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，
④()4832
±=±。

其中正确的有 （ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
分析：（1）我们知道4的3次方等于64，所以64的立方根就是4；
（2）①立方根只有一个，27的立方根是3，而不是正负3，-3的立方等于-27，错；② 根据立方根的定义可知对；③ 根号64开方等于8，立方根是2，正确；④ 先把3次根号里面的化简等于3次根号下64，那么应该等于4，错。

三、经验之谈：
实数是整个数学学科的基础，对于初学者来讲，有些概念比较抽象、难懂，没关系，慢慢来，对于平方根和立方根的基础题型我们要会做，本节题目在后面变化多端，多做练习相信一定能理解的。