教学目标1.了解一个数的平方根和算术平方根的意义，理解和掌握平方根的性质；2.会求一个非负数的平方根、算术平方根；3.掌握立方根的意义，会求一个数的立方根；4.理解开立方与立方的关系。

重点、难点重点：算术平方根、平方根以及立方根的概念和性质。

难点：算术平方根与平方根的区别与联系。

考点及考试要求以考查对平方根、算术平方根、立方根的概念的理解程度和估算为主教学内容第一课时平方根与立方根知识梳理课前检测1、求下列各数的算术平方根：⑴100 ⑵49⑶17⑷0.0001 ⑸064 92、求下列各式的值：（1） 4 （2）49（3）( 11)2（4）62 81a + 1b - 1 a知识梳理3、算术平方根等于本身的数有。

4、求下列各数的算术平方根.0.0025 ， 121， 42 ， (- 1 )2 ，1 92 165、已知 + = 0, 求a + 2b 的值.一. 平方根：1. 算术平方根的概念及表示方法如果一个正数 x 的平方等于a ，即 x 2 = a ，那么这个正数 x 叫做a 的算术平方根。

当a ≥ 0 时， a 的算术平方根记为 ，读作“根号a ”， a 叫做被开方数。

2. 平方根的概念及其性质（1） 平方根的定义如果一个数的平方等于a ，即 x 2 = a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。

即如果 x 2 = a ，那a典型例题么 x 叫做a 的平方根。

（2） 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根。

当a ≥ 0 时，a 的平方根表示为± 。

（3） 求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫做被开方数。

3. 用计算器求一个正数的算术平方根用计算器可以求出任何一个正数的算术平方根（或其近似值）。

二. 立方根：1. 立方根的概念及表示方法如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根或三次方根。

即如果 x 3 = a ，那么 x 叫做a 的立方根，记作 3 a 。

正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0 的立方根是 0。

2. 开立方的概念求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算。

3. 用计算器求立方根很多有理数的立方根是无限不循环小数，我们可用计算器求出它们的近似值。

第二课时平方根与立方根典型例题知识点一：算术平方根例 1. 下列各数有算术平方根吗？如果有，求出它的算术平方根；如果没有，请说明理由。

（1）81；（2） -16 ； （3）0；（4） 25；（5） (-2)2 ；（6） (-2)3 。

4思路分析：根据“正数和 0 都有算术平方根，负数没有算术平方根”知，（1）、（3）、（4）、（5）3x + 5 y - 3 - m 2x + 3y - m x - 2005 + y 2005 - x - y 3x + 5 y - 3 - m 2x + 3y - m a 解答过程：由已知，得⎪⎪ ⎨2x + 3y - m ≥ 0 ⎨2x + 3y - m = 0 例 5. 若一个正数a 的两个平方根分别为 x + 1和 x + 3 ，求a 2008 的值。

思路分析：由平方根的性质知：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数，因而可构造方程， 求出 x 的值，而a = (x + 1)2 或a = (x + 3)2 ，据此可求出a 的值。

解答过程：因为一个正数的两个平方根互为相反数所以(x + 1) + (x + 3) = 0 ，解得 x = -2 。

从而a = (x + 1)2 = (-2 + 1)2 = 1 （或a = (x + 3)2 = (-2 + 3)2 = 1)所以a 2008 = 1 。

解题后的思考：本题利用平方根的性质，构造一元一次方程，先求出其平方根，再进一步求出a 。

这里用到了方程思想，它是初中阶段一种重要的数学思想。

例 6. 若 x , y , m 适合关系式 + = + ，试求m 的值。

思路分析：从已知关系式看似乎无从下手，但关系式要成立先要有意义，此题从被开方数必须非负入手就能迎刃而解。

⎧3x + 5 y - 3 - m ≥ 0 (1) ⎪2x + 3y - m ≥ 0 (2)⎨x - 2005 + y ≥ 0 (3) ⎪⎩2005 - x - y ≥ 0 (4)由（3）（4）式可知， x + y = 2005所以，原式即为 + = 0因为， ⎧3x + 5 y - 3 - m ≥ 0⎩所以， ⎧3x + 5 y - 3 - m = 0 ⎩又因为， x + y = 2005所以，解得m = 2008 。

解题后的思考： 方根必须非负，即 a 的非负性包括两层含义：一是被开方数a 必须非负，即a ≥ 0 ；二是a 的算术平≥ 0 。

小结：负数没有平方根；一个正数有两个互为相反数的平方根；0 的平方根是 01717 1717 17m ma 2a1a a2知识点三：平方根的估算例7.已知x 为- 2 的整数部分，y -1是9 的平方根，且| x -y |=y -x ，求x+y的值。

思路分析：此题涉及的估值问题，由16 < 17 < 25 ，即4 << 5 可解。

还涉及y 的取值的取舍问题，求出的y 值要满足题目中的所有条件，既不能漏解，也不能多解。

解答过程：因为4 << 5 ，所以2 <- 2 < 3 ，即x = 2因为y - 1 是 9 的平方根，所以y - 1 =±3 ，即y = 4 或y =-2又因为| x -y |=y -x ，所以y ≥x所以x = 2, y = 4 ，故x +y = 6 。

解题后的思考：若的整数部分为a ，则其小数部分为-a 。

小结：若一个非负数a 介于另外两个非负数a1 , a2(a1<a2) 之间，即0 ≤a1 <a <a2 时，它的算术平方根也介于a1, 之间，即0 ≤<< 。

利用这个结论我们可以来估算一个非负数的算术平方根的大致范围。

对一个数和式子进行估算是以后我们会经常遇到的问题。

比如解不等式组、求函数定义域和值域、求集合的交集和并集等。

知识点四：立方根的概念及其性质例8.已知x -1是8 的立方根，求x 。

思路分析：此题主要考查立方根的概念，但是用字母表示具体的数，涉及到代数。

解答过程： x - 1是 8 的立方根∴ (x - 1)3= 8∴x - 1 = 2 ，x = 3解题后的思考：利用立方根的概念解决抽象的代数问题。

小结：立方根与平方根的区别：只有非负数才有平方根，0 的平方根为 0，正数的平方根有两个且互为相反数；任何数均有立方根，并且有唯一的与其符号相同的立方根。

3 1 - 2x 3 3y - 2师生小结例 11. 若 3 1 - 2x 与 3 3y - 2 互为相反数，求代数式2x + 1 的值。

y思路分析：由立方根的定义和性质可知，若 与互为相反数，则有被开方数互为相反数。

由此求出 x , y 的关系式，然后代入求值。

解答过程：由题意得1 - 2x + 3y - 2 = 0 所以， y =2x + 13则 2x + 1 = 3 。

y解题后的思考：熟悉掌握立方根的性质是解决这类问题的关键。

被开方数 名称正数0 负数1 -1算术平方根 1 个（正数） 0 无 1无 平方根2 个（一正一负）无 ±1无立方根1 个（正数） 0 1 个（负数）1-1第三课时 平方根与立方根课堂检测3 -27 3 -a 2 2 1425 3 64一、选择题：1. 的绝对值是（）A. 3B. -3C. 1 3D. -1 32. 下列说法中正确的是（）A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数B. 负数没有立方根C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D. 一个非零数的立方根与这个数同号3. 与 最接近的数是（）A. 0B. 2C. 4D. 5 4. 若某数的立方根等于这个数的算术平方根，那么这个数是（ ）A. 1B. ±1C. 0 或 1D. -1 或 05. 计算 = （）A. aB. -aC. -1D. 0二、填空题：6. （1） ± =； （2） - 3 -125 =；（3） 3 - 27=；（4） 3-8 + =；（5） 38 - 16 ⨯ 3 27=；7. 的平方根是；课堂检测8 18. 17 + 10 的小数部分为；9. 下列说法中正确的是（将序号填写在横线上）①4的平方根是2；②4的算术平方根是2；③-2 是4 的平方根；④-16 的平方根是-4 ；⑤0.3是0.09 的平方根；⑥0.4的算术平方根是0.2。

10. 如果3 2x -1=-3 5x + 8 ，那么x2=。

三、解答题：11. 求下列各数的平方根和算术平方根121（1）（2）0.0081494（3）(－ )2（4）14512.求下列各数的立方根．（1）0.001 （2）－2163（3）3 （4）－3 813.求下列各式中的x．（1）9x2－256＝0 （2）4(2x－1)2＝2514. 已知：(1－2a)2＋b－2＝0，求ab 的值．15.若3x＋16 的立方根是 4，求2x＋4 的算术平方根．x + y + z16. 已知 3 1 - a 2 = 1 - a 2 ，求a 的值。

17.已知：（ｘ－1）2+ y + 3 + ＝0，求ｘ+ｙ2－ｚ的立方根．18. 已知：ｘ－2 的平方根是±2, 2ｘ+ｙ+7 的立方根是 3，求ｘ2+ｙ2 的平方根．19.若ｘ2＝（－3）2，ｙ3＝（－2）3，求ｘ+ｙ的所有可能值．19. 将半径为 3 cm 的铁球熔化，重新铸成 8 个半径相同的小铁球。

（1） 原铁球的体积是多少？（2） 每个小铁球的体积是多少？半径是多少？（球的体积公式：V = 4r 3 ）320.计划用 100 块地板砖来铺设面积为 16m2 的客厅，求所需的正方形地板砖的边长是多少米？21.已知第一个正方体纸盒的棱长是 6cm，第二个正方体纸盒的体积要比第一个纸盒的体积大127cm3，求第二个正方体纸盒的棱长．。