或用点阵矢量 a , b, c
（点阵常数） α,β,γ晶轴间的夹角
阵点 ruvw= ua + vb + wc
体积 V= a ·( b× c)
4.原胞（Primitive cell） 根据晶体内部原子排列的周期性，把晶体划分为一个个 形状和大小完全相同，相互紧密排列在一起的平行六面体 。这种根据实际晶体结构划分出的，最小体积单位构成的 基本单位称为原胞。
(111)
(001)
✓ 不能将坐标原点选在待 定的晶面上
(110)
✓ 若晶面与坐标轴平行， 则截距为无穷大
✓ 若有负号，表示在数字
(112)
(111)
上方.
注意： 1、（hkl）并不是一个晶面，而是一组平行晶面； 2、平行晶面的指数相同，或数字相同符号相反； 3、晶面通过原点或不与三个坐标轴相交，平移或延伸； 4、以点阵常数为单位，不是统一单位。
2.1.2 晶向指数和晶面指数 晶向：空间点阵中节点列的方向。空间中任两节点的
连线的方向，代表了晶体中原子列的方向。 晶面：空间中不在一直线任三个阵点的构成的平面，
代表了晶体中原子列的方向。 c
阵点坐标 opuavbwc
b a
1. 晶向指数
c
求法：
1）确定坐标系
[101]
2）过坐标原点，作直线与待求
选取晶胞的原则：
Ⅰ) 选取的平行六面体应反应出点 阵的最高对称性；
Ⅱ）平行六面体内的棱和角相等的 数目应最多；
Ⅲ）当平行六面体的棱角存在直角 时，直角的数目应最多；
Ⅳ）在满足上条件，晶胞应具有最 小的体积。
晶体（Crystal）可以认为是刚性球在三维空间的规则堆垛
晶体
点阵
晶胞
描述晶胞
a,b,c棱边长
*指数看特征，正负看走向
晶向指数表示着所有相互平行、方向一致的晶向。 若方向相反，则晶向的数字相同，但符号相反 晶向族<u v w>：因对称关系而等价的各组晶面
可归纳为一个晶向族。
问：立方晶系的<111>和<110>晶向族分别包括哪些晶向？
2.晶面指数
求法： 1）确定坐标： 2）求截距：晶面与三轴的截距，m(a), n(b), p(c)； 3）取倒数：1/m, 1/n, 1/p 4）互质化：加括号，记为（h k l）
问题1：为什么只有14种布拉维点阵？
底心四方相当于简单四方 面心四方相当于体心四方
相邻两正方形中心和这两正方形的公共边两顶点
问题2：为什么无面心四方而有面心立方呢？
面心立方可以转变为体心四方，但那样对 称性就变了。（不是立方的对称性了）
问题3：为什么无底心立方？
因为立方底心型会破坏立方体对角线上 的三重轴的对称性，不再满足立方晶系 特征元素的需要。
6. 晶体结构与空间点阵
• 为什么密排六方是一种晶体结构而不是一种 空间点阵？
2/3,1/3,1/2 0,0,0
位于晶胞内的原子与角上的 原子具有不同的周围环境。
将晶胞角上的一个原子与相 应的晶胞之内的一个原子共 同组成一点阵点，阵点可看 作由0,0,0和2/3,1/3,1/2这 一对原子所组成
晶向平行；
3） 在该直线上任取一点，并
确定该点的坐标（x，y，z）
4）将此值化成最小整数u，v，
w并加以方括号[u v w]即是。 a
[111]
[100] [210]
（代表一组互相平行，方向一致的晶向）
[-110]
[011]
-
[110] [110]
[010]
b
（x1,y1,z1）,(x2,y2,z2)二点连线的晶向指数：[x2-x1,y2-y1,z2-z1]
{11}2(11)2(112)(112)(112) (12)1(121)(121)(121) (21)1(211)(211)(211)
Total: 12
{123} (123) (1 23) (123) (123) (132) (1 32) (132) (132) (231) (231) (231) (23 1) (213) (213) (2 1 3) (213) (312) (312) (3 1 2) (312) (321) (321) (321) (32 1) Total: 4×3！=24
➢ 在立方晶系中有： （hkl）⊥[ hkl ]
晶面族{h k l}中的晶面数 晶面族：在晶体内凡晶面间距和原子的分布完全相同，只是 空间位向不同的晶面可以归为同一晶面族。用｛｝表示
{ 1} 1 1 ( 11 )1 (11)1 ( 111 )( 11 1 ) (111)( 111)(111)(111 )
？8个晶面？
{ 1} 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 1 1 1 ) ( 1 1 ) 1
{110} (110)(101)(011) (110)(101)(011) (110)(101)(011) (110)(101)(011)
12个晶面？
{ 1 } ( 1 1 ) ( 0 1 ) ( 0 0 ) ( 1 1 ) ( 1 1 0 0 ) ( 0 1 1 )
2.晶格（crystal lattice） ：为了表达 空间原子排列的几何规律，把粒子(原子 或分子)在空间的平衡位置作为节点，人 为地将节点用一系列相互平行的直线连 接起来形成的空间格架称为晶格。
3．晶胞（Unit cell）：代表性的基本单元（最小平行六面体）。 晶胞在三维空间重复堆砌可构成整个空间点阵，通常为小的平行六面体。
关于晶体学基础 (2)
高分辨率电镜直接观察晶体中原子的排列
※ 2.1 晶体学基础
晶体结构的基本特征：原子（或分子、 离子）在三维空间呈周期性重复排列，即存在长程有序
性能上五大特点：固定的熔点 自发形成规则多面体外形 各向异性 均匀性 对称性
2.1.1 空间点阵和晶胞
1.空间点阵（Space Lattice），简称点阵 将晶体中原子或原子团抽象为纯几何点（阵点），即可得到一个由无 数几何点在三维空间排列成规则的阵列—空间点阵 特征：每个阵点在空间分布必须具有完全相同的周围环境
晶胞 原胞
差别：晶胞能完整反映晶体内部原 子或离子在三维空间分布；原胞一 般不能保持晶体结构的对称性
5.晶系与布拉菲点阵 七个晶系，14个布拉菲点阵
• 简单晶胞Байду номын сангаас初级晶胞）：只有在平行六面体每个顶角上有一阵点 • 复杂晶胞： 除在顶角外，在体心、面心或底心上有阵点
5.晶系与布拉菲点阵 七个晶系，14个布拉菲点阵