晶体的对称性： 宏观对称性：至少有一点不动，没有平移操作 微观对称性：晶格的对称性，可以有平移操作
2. 晶体对称性的规律 晶体的宏观对称性受晶体周期性的限制
晶体对称性定律（law of crystal symmetry）： 在晶体中，只可能出现轴次为一次、二次、三次、
四次和六次的对称轴，而不可能存在五次及高于六次的 对称轴。
对称操作： 反演、反映、旋转、旋转反演；
（1）对称中心与反演操作
对称中心（center of symmetry, 习惯符号C）： 一假想的几何点，相应的对称操作是对于这个点的
反演（倒反，反伸）。国际符号：i ，1
反演： 符号：I
(x, y, z)
(-x, -y, -z)
（2）对称面与反映操作 对称面（symmetry plane, 符号P）： 一假想的平面，相应的对称操作为对此平面的反映。 对称面将图形平分成互为镜像的两个部分，反映使物与像 重合而不是互换位置。国际符号：m
——杨振宁
第二章的主要内容
➢ 对称的概念 ➢ 晶体的宏观对称元素和对称操作 ➢ 晶体宏观对称元素的组合 ➢ 晶体的32种点群及其符号 ➢ 晶体的分类与14种布拉菲点阵 ➢ 准晶
2.1 晶体的宏观对称元素与对称操作
一、对称、对称元素、对称操作的概念
对称（symmetry）： 物体（或图形）中等同部分有规律的重复。
Li6 = L3 + P
➢ 在写晶体的对称要素时，保留Li4 和Li6，而其他旋转反演
轴就用简单对称要素代替。这是因为Li4 不能被代替， Li6 在晶体对称分类中有特殊意义。
—— 晶体的宏观对称性只有以下八个独立的对称元素:
1, 2, 3, 4, 6, i, m, 4
对称元素 国际符号 对称操作
➢ 物体的对称操作越多，其对称性越高。
➢ 一个物体的全部对称操作的集合满足群的定义 • 运算法则 —— 连续操作
• 一个物体全部宏观对称操作的集合满足群的定义
• 点群 { 宏观对称操作 }
三、晶体的宏观对称性
1. 晶体对称性的来源与体现 晶体内部原子排布的周期性
晶体的对称性
晶体物理性质的对称性 （各向同性和各向异性）
符号: La
2
4
6
➢ 轴次的确定：取最高的轴次
旋转对称性的平面图解：
6
6
6
1-fold
2-fold
3-fold
6
6
6
6
6
4-fold
6-fold
（4）旋转反演轴与旋转反演操作
旋转反演轴（rotoinversion axis, 习惯符号 Lni ）：
又称为倒转轴、反轴、反演轴（inversion axis）等，
48个对称操作：
三个4：9个对称操作 四个3：8个对称操作 六个2：6个对称操作 一个1：E
对称中心 i 在正方体中心 对称轴也是旋转反演轴： 旋转反演操作共24个
z
y x
例2. 正四面体的对称性（金刚石）
Z
三个4 ：9个对称操作
四个3：8个对称操作
六个 2 ：6个对称操作
Y
一个1：E
X
共24个对称操作
对称操作（symmetry operation） ： 使物体（或图形）中等同部分之间重合的动作，即
使各等同部分调换位置、整个物体恢复原状的动作。
对称元素（symmetry element）： 进行对称操作所凭借的辅助几何要素（点、线、
面）。
二、物体宏观对称性的描述
1. 对称元素与对称操作 对称元素： 对称中心、对称面、对称轴、旋转反演轴；
对称中心
i
反演
I
对称面(镜面) m
反映
M
一重旋转轴 二重旋转轴 三重旋转轴 四重旋转轴 六重旋转轴
1
旋转
L(0 )
2
旋转
L(180 )
3
旋转
ห้องสมุดไป่ตู้
L(120 )
4
旋转
L(90 )
6
旋转
L(60 )
四重反轴
4
旋转反演 L(90 )I
等同元素或组合成分 1 2
3i 3 3m 6
4. 晶体宏观对称性分析实例 例1. 立方体的对称性（面心立方、体心立方）
这些“元素”被赋予一定的“乘法法则（·）”，满足下列
性质： (1) 闭合性：若 A, B G，则A ·B=C G
(2) 存在单位元素E：使得所有元素满足 A ·E = A
(3) 存在逆元素：对于任意元素A存在A-1 ， AA-1=A-1A=E
(4) 满足结合律：A(BC)=(AB)C
3. 对称性的数学描述 研究物体对称性的方法 —— 观察物体的正交变换不变性
第二章 晶体的宏观对称性
在所有智慧的追求中，很难找到其他例子能 够在深刻的普遍性与优美简洁性方面与对称性原 理相比。
—— 李政道
电荷对称:
一组带电粒子 极性互换, 其相互 作用不变（但在弱 相互作用下这种对 称被部分破坏）.
C60
手性分子
对称在科学界开始产生重要的影响始于19世纪。 发展到近代，我们已经知道这个观念是晶体学、分子 学、原子学、原子核物理学、化学、粒子物理学等现 代科学的中心观念。
对称变换矩阵：
正交变换 ——正交矩阵
—— 绕z轴逆时针转角 ——反演
3. 对称性的数学描述 研究物体对称性的方法 —— 观察物体的正交变换不变性
➢ 物体的对称操作越多，其对称性越高。
➢ 一个物体的全部对称操作的集合满足群的定义
群的概念
—— 群代表一组“元素”的集合，G {E, A ,B, C, D ……} ，
反映： 符号：M
（3）对称轴与旋转操作
对称轴（symmetry axis, 习惯符号 Ln ）：
一假想的直线，相应的对称操作是以此直线为轴旋
转 360o n 及其整数倍可使物体复原。又称为旋转轴。
国际符号：n 基转角a ：使整个物体复原需要的最小转角
a 360o
n
轴次n： 旋转一周物体复原的次数 旋转：
a 360o
n
—— 任何晶体的宏观对称性只能有以下十种对称元素:
1, 2, 3, 4, 6, 1, 2, 3, 4, 6
3. 晶体的宏观对称具有的对称元素与对称操作
一次对称轴 1 的对称操作
➢ 除Li4外，其余各种旋转反演轴都可以用其它简单的对称 要素或它们的组合来代替，其间关系如下：
Li1 = C， Li2 = P， Li3 = L3 +C，
是一种复合的对称元素。国际符号： n
辅助几何要素有两个：直线和此直线上的一个定点
旋转反演：
绕轴旋转 360o n 后再对轴上定点进行反演的联合
操作以及该联合操作的整数倍可使物体复原。
符号: La I
（ 其中 a 360o ）
n
L2i P
L3i L3 C
L4i
L6i L3 P
2. 对称操作的数学描述 对称操作 对称操作