等压面的微分方程：
dp 0
即：
Xdx Ydy Zdz 0 （2.6）—等压面的微分方程
dx，dy，dz是单位质量力的微小位移在各坐 标轴方向的投影。（2.6）表明： 单位质量力所做的微功等于零. 由于质量力和位移都不为零，所以在静止液 体中质量力与等压面正交。
三、质量力的势函数、有势力、等压面
dp dU （2.5）
（2.5）表明压强在空间的变化是由质量力引起的. 等压面：在同一种连续液体中，由压强相等的各 点所组成的面。 在等压面上，压强p=常数(const)，于是：
dp dU 0
dU 0
U=常数(const)，所以等压面也是等势面
三、质量力的势函数、有势力、等压面
1.表面力：只有静水压力 由于六面体各面的形心到 点M的距离很小,压强在M 点附近的变化可用泰勒级 数表示,且可忽略二阶以上 的微量,于是： 图2.5
一、欧拉平衡微分方程的推导

a'b'd'c'面上的中心点M1 （x-dx/2，y，z），其压 p dx 强为：
p x 2
M1
M2

abdc面上的中心点M2 （x+dx/2，y，z），其 压强为：
dp ( Xdx Ydy Zdz ) dp [0 dx 0 dy ( g ) dz ] dp gdz dz
一、重力下流体的压强分布规律推导
dp gdz dz
对均质流体，ρ=const，则：
p z c

(2.7) 即：
p Z z
二、欧拉平衡微分方程的综合形式
将欧拉平衡微分方程分别乘以dx，dy，dz， 后相加得：
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz ) x y z
dp ( Xdx Ydy Zdz ) （2.4）—综合形式
（压强差公式）
因此，在质量力只有重力时，等压面为一水 平面。 常见的等压面： 1.液体的自由表面 2.不相混合的两种液体的交界面
图2.6
2.2.2 重力下流体的压强分布规律
一、重力下流体的压强分布规律推导 二、静水压强基本方程的意义
一、重力下流体的压强分布规律推导
静止的液体，所受的质量力只有重力， 取图2.7所示坐标系， 则X=0，Y=0，Z=-g， 代入压强差公式：
除以dxdydz，得： 同理可得：
p X 0 x p Y 0 y p Z 0 z
(2.2)
p X x p Y y p Z z
(2.3)
一、欧拉平衡微分方程的推导
p X x
p Y y
(2.3) 欧拉平衡微分方程：表明，在静 止液体中,静水压强沿某方向的变 化率与该方向单位体积上的质量 力相等。
一、欧拉平衡微分方程的推导
如图2.5，在平衡液体中， 取一微小六面体，为研 究的方便，使其各边分 别平行于坐标轴，边长 分别为：dx, dy, dz,其形 心点为M(x, y, z)，点M 的压强为p(x, y, z)
图2.5
一、欧拉平衡微分方程的推导
分析作用于六面体表面的力：
（为简化，只讨论X方向，Y， Z方向同理可得）
z
p

c
(2.8)

上式表明，在重力作用下，不可压缩的静止 p 液体中各点的 z 相等。 即对液体中的任两点：
z1

p1
z2
p2

（2.9）—静力学的基本方程
一、重力下流体的压强分布规律推导
在自由表面上， z=z0=0, p=p0， 则
z p p0 p0

0

c
一、重力下流体的压强分布规律推导
例2.1 一封闭水箱，如图2.8 液面上压强p0 =120kN/m2,求 h=0.4m处A点的压强。
图2.8
二、静水压强基本方程的意义
下面从能量和几何的角度分析各项的意义

水头和单位势能 p
z

c

式中：z—位置高度（位置水头）是研究点相 对于某一水平面（基准面）的高度 从能量的角度看， z是单位重量液体从某一 基准面算起所具有的位置势能—单位位能
m v dxdydz Fx dxdydzX Fy dxdydzY Fz dxdydzZ
一、欧拉平衡微分方程的推导
根据平衡条件∑Fx=0，则有：
p dx p dx (p )dydz ( p )dydz dxdydzX 0位重量液体所具 有的势能相等。 式中各符号的正负规定如下： z —点在基准面以上为正，以下为负
p
p z —在基准面以上为正，以下为负
—研究点在自由液面以下为“+”，以上为“-”
各符号的规定举例
图2.9
各符号的规定练习
做练习, P24, 2.2

下面从能量和几何的角度分析各项的意义 ：液柱高度（压强水头）—研究点在自由液面 以下的高度 p 从能量的角度看， 是单位重量液体所具有 的压能—单位压能
z

p
：测压管水头（测管水头） p
z
p
从能量的角度看， 是单位重量液体所具 有的势能—单位势能
式中各符号的规定
z p
三、质量力的势函数、有势力、等压面 有力势函数存在的力场，叫势场。
dp ( Xdx Ydy Zdz )
（2.4）
（2.4）式左边是p(x, y, z)的全微分，右边括号 内各项之和也应是某一函数的全微分，这个 函数是U (x, y, z) ，称为质量力的势函数, 简称 力势函数。
三、质量力的势函数、有势力、等压面
dp ( Xdx Ydy Zdz )
当力势函数存在时，有： U U U X ,Y ,Z x y z U U U dU dx dy dz x y z dp dU （2.5） 所以： 只有当质量力是有势力时，液体才处于平衡状态
三、质量力的势函数、有势力、等压面
2.2 欧拉平衡微分方程
讨论在平衡状态下,作用于液体上的 表面力和质量力之间应满足的关系, 建立表示液体平衡的微分方程。 2.2.1欧拉平衡微分方程 2.2.2重力下流体的压强分布规律
2.2.1 欧拉平衡微分方程
一、欧拉平衡微分方程的推导 二、欧拉平衡微分方程的综合形式
三、质量力的势函数、有势力、等压面
p dx p x 2
图2.5
一、欧拉平衡微分方程的推导

作用于a'b'd'c'面上的静 水总压力为： p dx (p )dydz x 2 作用于abdc面上的静 水总压力为：
p dx (p )dydz x 2
图2.5
一、欧拉平衡微分方程的推导
2.质量力F： 单位质量力在各坐标轴方向的分量为：X， Y，Z，六面体的质量为：
即： c

p p0 z
（2.10）
若取h的方向与z相反，则：
p p0 h （2.11）—静水压强的基本方程

h—自由液面以下的淹没深度 p0 —液面压强
一、重力下流体的压强分布规律推导
式（2.11）—静水压强的基本方程表明： 静止液体中的任一点的压强由两部分组成： （1）表面压强 p0 （液面压强）—等值传递到 液体内各点（巴斯卡原理）。 （2）液重压强γh—即从该点到液体自由表面 的单位面积上的液柱重量。