2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2
2
1 6
3 p x 3
dx 2
3
略去二阶以上无穷小量后，分别等于
p 1 p dx 2 x
p 1 p dx 2 x
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
垂直于x轴的左、右两微元面上的总压力分别为
第二节 流体平衡微分方程
静压强是空间坐标的连续函数
p p(x, y, z)
求静压强分布规律 研究平衡状态的一般情况 推导平衡微分方程式
流体静力学基本方程
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
在静止流体中任取一平行六面体的流体微团， 边长为 dx，dy，dz的微元，中心点静压强为p(x,y,z)
1 p
f x x 0
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
同理得
fx
1
p x
0
1 p
f y y 0
fz
1
p z
0
写成矢量形式
f
1
p
0
流体平衡微分方程式 欧拉平衡微分方程式
第二节 流体平衡微分方程
f
1
p
0
物理意义
在静止流体中，某点单位质量流体的质量力
与静压强的合力相平衡。
第二节 流体平衡微分方程
四、等压面 1. 定义
在流体中，压强相等的各点所组成的面称为等压面
等压面可以用p(x,y,z)＝常数来表示。 dp=0
几点说明 对不同的等压面，其常数值是不同的 流体中任意一点只能有一个等压面通过。
第二节 流体平衡微分方程
举例说明
液体与气体的分界面，即液体的自由液面就 是等压面，其上各点的压强等于在分界面上各点 气体的压强。
第二节 流体平衡微分方程
3.
f y fz z y
fz f x x z
f x f y y x
理论力学中，上式是 fx、fy、fz 具有力的势函数 ( x, y, z) 的充分必要条件
力的势函数与单位质量力的关系
f x x
fy
y
fz
z
第二节 流体平衡微分方程
3. 既然 f x , f y , fz 能满足下式
适用范围
静止或相对静止状态的可压缩和不可压缩流体。
它是流体静力学最基本的方程组，流体静力学的其 他计算公式都是从此方程组推导出来的。
第二节 流体平衡微分方程
二、压强差公式
1 p
f x x 0
乘以dx
1 p
f xdx x dx 0
1 p
f y y 0
1 p
fz z 0
乘以dy 乘以dz
第二节 流体平衡微分方程
2. 等压面微分方程式
f xdx f ydy fzdz 0
f ds 0
物理含义: 单位质量流体中的质量力沿等压面移动微 小距离所做的功等于0
dp p dx p dy p dz x y z
所以 dp ( fxdx f ydy fzdz)
在静止流体中，空间点的坐标增 量为dx、dy、dz时，相应的流体
静压强增加dp，压强的增量取决
于质量力。
压强差公式
第二节 流体平衡微分方程
三、流体平衡条件
1. 例：
1 p
f x x 0
1 p
x方向受力分析
质量力—— f x dxdydz
表面力—— 只有静压强
如何求解是关键
p 1 p dxdydz
2 x
A
C
p
p 1 p dxdydz
B
2 x
½ dx
图2-3 微元平行六面体x方向的受力分析
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
作用在六个平面中心点上的静压强可按泰勒级数展开
互不掺混的两种液体的分界面也是等压面。
p p0
等压面
p p0
油 水
等压面
第二节 流体平衡微分方程
证明
分界面上取两点1和2 点1——点2的压强增量
dp 1( f xdx f ydy fzdz) dp 2( f xdx f ydy fzdz)
p p0
1油2 水
两式相减
dp
1
f y y 0
1 p
fz z 0
f x 1 2 p 0
y xy
f y 1 2 p 0
x yx
对y、对z求导 对x、对z求导 对x、对y求导
相减
f x f y
y x
第二节 流体平衡微分方程
2. f x f y y x f y fz z y fz f x x z
仍然是流体平衡微分方程 平衡时，数学上质量力满足左式 是质量力存在势函数的充要条件
f x x
f y y
fx, fy, fz
就是有势的力
fz z
代入压强差公式，得
dp
f xdx
f ydy
f z dz
x
dx
y
dy
பைடு நூலகம்
z
dz
d
第二节 流体平衡微分方程
4. 有势函数存在的力称为有势的力 流体平衡条件：
只有在有势的质量力作用下，不可压缩均质流体 才能处于平衡状态，这就是流体平衡的条件。
p
1
p
dx dydz
2 x
p 1 p dx dydz 2 x
因为流体平衡
Fx 0
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
将质量力和表面力代入上式，则
p
1 2
p x
dx dydz
p
1 2
p x
dx dydz
f x dxdydz
0
整理上式，并把各项都除以ρdxdydz，则得
1 p
f ydy y dy 0
1 p
fzdz z dz 0
三式相加，整理
(
f xdx
f ydy
fzdz)
p dx x
p dy y
p dz z
第二节 流体平衡微分方程
二、压强差公式
(
f xdx
f ydy
fzdz)
p dx x
p dy y
p dz z
流体静压强是空间坐标的连续函数，它的全微分为
dp
2
1
1
1
2
dp
0
因为 1 2 0
dp=0
等压面
第二节 流体平衡微分方程
2. 等压面微分方程式
由压差公式 dp ( fxdx f ydy fzdz)
在等压面上各处的压强都一样，即dp=0
f xdx f ydy fzdz 0
矢量形式 f ds 0
平衡流体的 等压面微分方程
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
......
f
n ( x0 n!
)
(
x
x0
)n
第二节 流体平衡微分方程
一、流体平衡微分方程式(推导)
在垂直于x轴的左、右两个平面中心点上的静压强分别为
p
p x
dx 2
1 2
2 p x 2
dx 2