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高中数学求函数值域的7类题型和16种方法

求函数值域的7类题型和16种方法一、函数值域基本知识1.定义:在函数()y f x =中,与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。

2.确定函数的值域的原则①当函数()y f x =用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合;②当函数()y f x =用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合; ③当函数()y f x =用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数()y f x =由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。

二、常见函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。

一般地,常见函数的值域:1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.2.二次函数()20y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.,3.反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0y y >.5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.6.正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型题型一:一次函数()0y ax b a =+≠的值域(最值)1、一次函数:()0y ax b a =+≠ 当其定义域为R ,其值域为R ;2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值,只需分别求出()(),f m f n ,并比较它们的大小即可。

若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时,需结合函数图像来确定函数的值域。

题型二:二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域(最值)1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f , 当其 定义域为R 时,其值域为()()224 044 04ac b y a aac b y a a ⎧-≥>⎪⎪⎨-⎪≤<⎪⎩2、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间[],m n 上的值域(最值)首先判定其对称轴2bx a=-与区间[],m n 的位置关系 (1)若[],2b m n a -∈,则当0a >时,()2bf a-是函数的最小值,最大值为(),()f m f n 中较大者;当0a <时,()2bf a-是函数的最大值,最大值为(),()f m f n 中较小者。

(2)若[],2bm n a-∉,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大(小)值。

特别提醒:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值;②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时,要结合图像来确函数的值域; ③当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。

例1:已知 ()22f x x --的定义域为[)3,-+∞,则()f x 的定义域为 (],1-∞ 。

例2:已知()211f x x -=+,且()3,4x ∈-,则()f x 的值域为 ()1,17 。

题型三:一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠=k xky 的定义域为{}0x x ≠,值域为{}0y y ≠ 2、形如:cx dy ax b+=+的值域:(1)若定义域为b x R x a ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩⎭时,其值域为c y R y a ⎧⎫∈≠⎨⎬⎩⎭(2)若[],x m n ∈时,我们把原函数变形为d byx ay c-=-,然后利用[],x m n ∈(即x 的有界性),便可求出函数的值域。

例3:函数23321x x y -=-的值域为[)1,3,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ ;若[]1,2x ∈时,其值域为 11,511⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 。

例4:当(]3,1x ∈--时,函数1321xy x -=+的值域 34,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭。

(2)已知()312x f x x -+=-,且[)3,2x ∈-,则()f x 的值域为 6,5⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 。

例5:函数2sin 13sin 2x y x -=+的值域为[)1,3,5⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦ ;若3,22x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,其值域为 12,23⎡⎫-⎪⎢⎣⎭。

题型四:二次分式函数22dx ex cy ax bx c++=++的值域一般情况下,都可以用判别式法求其值域。

但要注意以下三个问题: ①检验二次项系数为零时,方程是否有解,若无解或是函数无意义,都应从值域中去掉该值;②闭区间的边界值也要考查达到该值时的x 是否存在;③分子、分母必须是既约分式。

例6:2216x x y x x +-=+-; ()21,,7⎛⎤+∞⋃-∞ ⎥⎝⎦例7:2221x x y x +-=-; {}1y R y ∈≠ 例8:432+=x x y ; 33,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例9:求函数()211,21x y x x x -=∈-+∞++的值域解:由原函数变形、整理可得:()22110yx y x y +-++=求原函数在区间()1,-+∞上的值域,即求使上述方程在()1,-+∞有实数解时系数y 的取值范围 当0y =时,解得:()11,x =∈-+∞ 也就是说,0y =是原函数值域中的一个值 …① 当0y ≠时,上述方程要在区间()1,-+∞上有解,即要满足()10f -<或02112y y ≥⎧⎪-⎨->-⎪⎩解得:108y <≤ ……②综合①②得:原函数的值域为:10,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型五:形如y ax b =+± 这类题型都可以通过换元转化成二次函数在某区间上求值域问题,然后求其值域。

例10: 求函数x x y -+=142在[]8,1x ∈-时的值域 []4,4- 题型六:分段函数的值域:一般分别求出每一分段上函数的值域,然后将各个分段上的值域进行合并即可。

如果各个分段上的函数图像都可以在同一坐标系上画出,从图像上便可很容易地得到函数的值域。

例11: 21++-=x x y [)3,+∞ 例12: 241y x x =-++ (],5-∞题型七:复合函数的值域对于求复合函数的值域的方法是:首先求出该函数的定义域,然后在定义域的范围内由内层函数的值域逐层向外递推。

例13:)11y x =-≤≤ []0,2 例14:y =50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、函数值域求解的十六种求法 (1)直接法(俗名分析观察法):有的函数结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质观察出函数的值域。

即从自变量x 的范围出发,推出()y f x =的取值范围。

或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。

注意此法关键是定义域。

例1:已知函数()112--=x y ,{}2,1,0,1-∈x ,求函数的值域。

{}1,0,3-例2:求函数1y =的值域。

[1,)+∞例3:求函数()1y x =≥的值域。

)+∞例4:求函数y [)1,+∞(2)配方法:二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解,但在转化的过程中要注意等价性,特别是不能改变定义域。

对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题,均可使用配方法。

例1.求函数322+--=x x y 的值域。

分析与解答:因为0322≥+--x x ,即13≤≤-x ,4)1(2++-=x y ,于是:44)1(02≤++-≤x ,20≤≤y 。

例2.求函数x x x y 422++=在区间]4,41[∈x 的值域。

分析与解答:由x x x y 422++=配方得:62242+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=++=x x x x y , 当241≤≤x 时,函数24++=x x y 是单调减函数,所以41186≤≤y ; 当42≤≤x 时,函数24++=xx y 是单调增函数,所以76≤≤y 。

所以函数在区间]4,41[∈x 的值域是41186≤≤y 。

(3)最值法:对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值,求函数的值域的方法。

例1 求函数y =3-2x -x 2 的值域。

解:由3-2x -x 2≥0,解出定义域为[-3,1]。

函数y 在[-3,1]内是连续的,在定义域内由3-2x -x 2 的最大值为4,最小值为0。

∴函数的值域是[0,2]例2:求函数2xy =,[]2,2x ∈-的值域。

1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦例3:求函数2256y x x =-++的值域。

73,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(4)反函数法(逆求或反求法):利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求反函数的定义域,得到原函数的值域。

即通过反解,用y 来表示x ,再由x 的取值范围,通过解不等式,得出y 的取值范围。

对于形如)0(≠++=a bax dcx y 的值域,用函数和它的反函数定义域和值域关系,通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例1:求函数1212xxy -=+的值域。

解:由1212x xy -=+解得121xy y -=+, ∵20x>,∴101yy->+,∴11y -<< ∴函数1212xxy -=+的值域为(1,1)y ∈-。

(5)分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。

小结:已知分式函数)0(≠++=c dcx bax y ,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠c a y y ;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为)(bc ad dcx c adb c a y ≠+-+=,用复合函数法来求值域。

例1:求函数125xy x -=+的值域。

解:∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++, ∵72025x ≠+,∴12y ≠-,∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。

(6)换元法(代数/三角):对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数,可以考虑运用代数或三角代换,将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数,从而求得原函数的值域。

当根式里是一次式时,用代数换元;当根式里是二次式时,用三角换元。

对形如()1y f x =的函数,令()f x t =;形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+≠均为常数的t =[]cos ,0,x a θθπ=∈,或令sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦. 例1:求函数2y x =+解:令t =0t ≥),则212t x -=,∴22151()24y t t t =-++=--+ ∵当12t =,即38x =时,max 54y =,无最小值。

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