求函数值域的十种方法一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1．求函数1y =的值域。
【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。
【练习】1．求下列函数的值域：①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(；③1+=x xy ；○4()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。
【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞；○4{1,0,3}-。
二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。
形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。
例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。
【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。
∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。
∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。
例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。
【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ⎡∈⎣。
说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。
例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。
【分析与解】本题可看成第一象限内动点(,)P x y 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。
利用两点(4,0)，(0,2)确定一条直线，作出图象易得：2(0,4),(0,2),lg lg lg lg[(42)]lg[2(1)2]x y x y xy y y y ∈∈+==-=--+而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。
【练习】2．求下列函数的最大值、最小值与值域：①142+-=x x y ；②]4,3[,142∈+-=x x x y ；③]1,0[,142∈+-=x x x y ；④]5,0[,142∈+-=x x x y ；○5xx x y 422++=，]4,41[∈x ；○6y =。
【参考答案】①[3,)-+∞；②[2,1]-；③[2,1]-；④[3,6]-；○573[6,]4；○6[0,2] 三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。
适用类型：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其它易反解出自变量的函数类型。
例5．求函数12+=x xy 的值域。
分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出x ，从而便于求出反函数。
12+=x xy 反解得y y x -=2，故函数的值域为(,2)(2,)-∞+∞。
【练习】 1．求函数2332x y x +=-的值域。
2．求函数ax b y cx d +=+，0,d c x c ⎛⎫≠≠- ⎪⎝⎭的值域。
【参考答案】1．22(,)(,)33-∞+∞；(,)(,)a ac c-∞+∞。
四．分离变量法：适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
例6：求函数125xy x -=+的值域。
解：∵177(25)112222525225x x y x x x -++-===-++++， ∵72025x ≠+，∴12y ≠-，∴函数125x y x -=+的值域为1{|}2y y ≠-。
适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式。
例7：求函数122+--=x x xx y 的值域。
分析与解：观察分子、分母中均含有x x -2项，可利用分离变量法；则有22221111x x x x y x x x x --+-==-+-+ 21113()24x =--+。
不妨令：)0)(()(1)(,43)21()(2≠=+-=x f x f x g x x f 从而)∞+⎢⎣⎡∈,43)(x f 。
注意：在本题中若出现应排除0)(=x f ，因为)(x f 作为分母.所以4()0,3g x ⎛⎤∈ ⎥⎦⎝故)1,31⎢⎣⎡-∈y 。
另解：观察知道本题中分子较为简单，可令222111x x t x x x x-+==+--，求出t 的值域，进而可得到y 的值域。
【练习】1．求函数132222++++=x x x x y 的值域。
【参考答案】1．10(2,]3五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。
其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。
例8：求函数2y x =解：令t =0t ≥），则212t x -=，∴22151()24y t t t =-++=--+。
∵当12t =，即38x =时，max 54y =，无最小值。
∴函数2y x =5(,]4-∞。
例9：求函数2y x =+解：因21(1)0x -+≥，即2(1)1x +≤。
故可令1cos ,[0,]x ββπ+=∈，∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β=1)4sin(2+π+β=。
∵ππβππβ4544,0≤+≤≤≤，sin()124πβ∴-≤+≤，0)114πβ∴≤++≤+故所求函数的值域为]21,0[+。
例10.求函数34221x x y x x -=++的值域。
解：原函数可变形为：222121211x x y x x-=-⨯⨯++ 可令X=βtan ，则有222221sin 2,cos 11x x x xββ-==++11sin 2cos 2sin 424y βββ∴=-⨯=-当28k ππβ=-时，max14y = 当28k ππβ=+时，min14y =-而此时βtan 有意义。
故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41例11. 求函数(sin 1)(cos 1)y x x =++，,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域。
解：(sin 1)(cos 1)y x x =++sin cos sin cos 1x x x x =+++令sin cos x x t +=，则21sin cos (1)2x x t =-2211(1)1(1)22y t t t =-++=+由sin cos )4t x x x π=+=+且,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦可得：2t ≤≤∴当t =时，max 32y =2t =342y =+故所求函数的值域为33,422⎡++⎢⎣。
例12. 求函数4y x =+解：由250x -≥，可得||x ≤ 故可令,[0,]x ββπ=∈4)44y πβββ=++=++∵0βπ≤≤5444πππβ∴≤+≤当4πβ=时，max4y =当βπ=时，min4y =故所求函数的值域为：[44-+六、判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式0∆≥，从而求得原函数的值域，形如21112222a xb xc y a x b x c ++=++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。
例13：求函数2231x x y x x -+=-+的值域。
解：由2231x x y x x -+=-+变形得2(1)(1)30y x y x y ---+-=，当1y =时，此方程无解；当1y ≠时，∵x R ∈，∴2(1)4(1)(3)0y y y ∆=----≥， 解得1113y ≤≤，又1y ≠，∴1113y <≤ ∴函数2231x x y x x -+=-+的值域为11{|1}3y y <≤七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
例14：求函数y x =-解：∵当x 增大时，12x -随x的增大而减少，x 的增大而增大，∴函数y x =1(,]2-∞上是增函数。
∴1122y ≤-=，∴函数y x =1(,]2-∞。
例15.求函数y =解：原函数可化为：1x 1x 2y -++=令1,121-=+=x y x y ，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数所以21y y y +=在],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值222=显然0y >，故原函数的值域为]2,0(适用类型2：用于求复合函数的值域或最值。
（原理：同增异减）例16：求函数)4(log 221x x y -=的值域。
分析与解：由于函数本身是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：2()4(()0)t x x x t x =-+≥配方得：2()(2)4()0,4)t x x t x =--+∈所以（由复合函数的单调性（同增异减）知：),2[+∞-∈y 。
八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用]1,1[cos ],1,1[sin -∈-∈x x 等。
例17：求函数cos sin 3x y x =-的值域。
解：由原函数式可得：sin cos 3y x x y -=，可化为：()3x x y β+=即sin ()x x β+=∵x R ∈∴sin ()[1,1]x x β+∈- 即11-≤≤解得：44y -≤≤故函数的值域为⎡⎢⎣⎦注：该题还可以使用数形结合法。
cos cos 0sin 3sin 3x x y x x -==--，利用直线的斜率解题。
例18：求函数1212xxy -=+的值域。
解：由1212x xy -=+解得121xy y -=+，∵20x >，∴101yy->+，∴11y -<< ∴函数1212xxy -=+的值域为(1,1)y ∈-。
九、图像法（数形结合法）：其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例19：求函数|3||5|y x x =++-的值域。
解：∵22|3||5|822x y x x x -+⎧⎪=++-=⎨⎪-⎩(3)(35)(5)x x x <--≤<≥，∴|3||5|y x x =++-的图像如图所示，由图像知：函数|3||5|y x x =++-的值域为[8,)+∞ 例20.求函数y =解：原函数可化简得：|2||8|y x x =-++上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），(8)B -间的距离之和。