p
r,
1
2
2
exp
r2
2 2
|
J
|
|J|为Jacobian行列式
因此
nc
| J | r nc
ns
r cos ns r sin
sin
r
r cos
p r,
r
2
2
e
r2 2 2
则
p r
2
p
0
r,
d
r
2
r2
e 2 2
p
0
p
r,
dr
1
2
p r, p r p
结论
窄带高斯过程（零均值）的正交分量、同 相分量正交
exp
A2 cos2
2 2
2
A cos
Q
A
cos
1
2
exp
A2
2 2
1
2
A cos
Q
A cos
exp
A2 sin2
2 2
循环平稳过程
定义
随机过程X(t)的统计平均值和自相关函数是时 间的周期函数，则称为循环平稳随机过程。
• 如：
X
t
an g t
其包络和相位独立。
余弦波加窄带高斯平稳过程
形式 x t Acosct n t Acosct nc t cosct ns t sin ct
包络 R t A nc t 2 ns2 t
莱斯分布
p
r
r
2
exp
r2
2
A2
2
I0
Ar
2
,
r0
相位
t
arctg
arctg
ns nc
t t
p 1
2
证明
因为nc(t),ns(t)是正交的均值为0，方差为 2的高斯随机变
量，因此它们独立（窄带高斯过程的性质），则
p
nc ,
ns
1
2
2
exp
nc2
2
ns2
2
令 r nc2 ns2 ,
arctg ns
nc
则 nc r cos , ns r sin
f
Rx
e j2 f d
可以分解成两个互相独立的零均值平稳高 斯过程，且功率相同。
E
n
t 2
E
nc
t 2
E
ns
t 2
2
E nc t ns t 0
包络服从瑞利分布，相位服从均匀分布。
窄带平稳高斯过程（零均值）
包络 R t nc t 2 ns t 2
瑞利分布
p
r
r
2
exp
பைடு நூலகம்
r2
2 2
,
r0
相位 t
均匀分布
2Ar cos 2 2
A2
J
r
2
2
exp
r2
A2
2Ar
2 2
cos
p r
0
p r, d
r
2
exp
r2 A2
2 2
0
1
2
exp
Ar cos 2
d
r
2
exp
r2
2
A2
2
I0
Ar
2
其中，I0(x)称为零阶修正贝塞尔函数(Bessel)
I0
x
2
0
1
2
exp x cos
xl t xc t jxs t
窄带平稳随机过程的性质
由解析函数和等效基带信号的关系可得
xl
t
X
t
j
^
X
t
e
jct
^
xc t X t cosct X t sinct
^
xs t X t sinct X t cosct
窄带随机过程性质（证）
如果X(t)平稳，则Xc(t),Xs(t)联合平稳。 如果E[X(t)]=0,则E[Xc(t)]=E[Xs(t)]=0 如果X(t)高斯平稳，则Xc(t),Xs(t)高斯平稳。 如果X(t)高斯平稳且零均值，则Xc(t),Xs(t)
ns t A nc t
证明
令 x A nc , y ns ，则
x r cos
y r sin
其中，x ~ N A, 2 , y ~ N 0, 2
则
p x, y
1
2 2
x A2
exp
2 2
y2
1
2
2
exp
x2
y2
2Ax
2 2
A2
p r,
1
2
2
exp
r2
nT
n
E an ma , E an*ank Ra k
循环平稳过程的统计特性
期望
E X t ma g t nT
n
自相关
RX t,t Ra n m g* t nT g t mT
nm
功率谱密度
Rx
t,
t
1 T
T /2 T / 2
Rx
t, t
dt
Rx
Px
d
p
0
p
r,
dr
0
r
2
2
exp
r
Acos 2
2
2
A sin
2
dr
1
2
exp
A2 sin2
2 2
0
r
2
exp
r
A cos 2 2
2
dr
1
2
exp
A2 sin2
2 2
Acos
x
A cos 2
exp
x2
2 2
dx
1
2
exp
A2 sin2
2 2
相互正交且功率相同。
白噪声
定义
凡是功率谱密度在整个频带内均匀分布的噪声， 称为白噪声。
P() n0
2 R( ) n0 ( )
2
窄带平稳高斯过程
高斯白噪声经过带通系统
n t nc tcosct ns tsinct
E
n
t 2
E
nc
t
2
E
ns
t
2
2
nc(t),ns(t)正交
窄带平稳高斯过程（零均值）
窄带平稳随机过程
定义
功率谱密度形如带通信号的平稳随机过程。 （见书图）
感性认识：
窄带平稳随机过程的样本（书图）
• 高频振荡波形，包络随机起伏
窄带平稳随机过程的表示
X t a t cos ct t
a t cos t cosct a t sin t sin ct xc t cosct xs t sin ct Re xl t e jct