高斯 同一时刻不相关
独立
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06-9-27 28
5.3.2 结论1
对于均值为零的窄带平稳高斯过程
其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同；
在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相 关的或统计独立的。
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29
5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
15
2.随机信号的复信号表示
X (t) X (t) jXˆ (t)
R X
(
)
E
X
(t
)
X
*
(t)
E{[ X (t ) jXˆ (t )][ X (t) jXˆ (t)]}
RX ( ) RXˆ ( ) j[RXˆX ( ) RXXˆ ( )]
RX ( ) RXˆ ( ) RXˆX ( ) Rˆ X ( ) RXXˆ ( )
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2
希尔伯特变换 (Hilbert Transform)
1.定义
正变换定义：
H[x(t)] xˆ(t) 1 x( ) d
t
xˆ(t) x(t) 1
t
反变换：
H 1[xˆ(t)] x(t) 1 xˆ( ) d
t
H 1[xˆ(t)] xˆ(t) 1
第5章 窄带随机过程
Narrow-band Random Process
希尔伯特变换 信号的复信号表示 窄带随机过程的统计特性 窄带正态随机过程包络和相位的分布
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1
希尔伯特，D.(Hilbert,David，1862～ 1943)德国著名数学家。
希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20 世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称 为“数学界的无冕之王”。
H[A(t)sin[0t (t)] A(t) cos[0t (t)]
(5) 奇函数的H变换为偶函数，偶函数的H变换为奇函数。
（6） Xˆ (t) v(t) X (t) vˆ(t)
（7）经过希尔伯特变换后，相关函数不变 （功率谱不变，平均功率不变）
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9
（8） RXXˆ () RˆX ()
h(t )
(2)
h(t )
rect
t T
1 2
cos
2
f0t
T
1 f0 T
x(t)
rect
t T
1 2
cos
2
f0t
j sin 2
f0t
rect
t T
1 2
e
j
2
f0t
1
hL (t ) 2 z
t
e j2 f0t 1 , 2
0 t T
(3) rL (t ) xL (t ) hL (t )
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Hilbert变换
常用变换
xt
cos 2 f0t sin 2 f0t
m t cos 2 f0t m t sin 2 f0t
xˆ (t )
sin 2 f0t cos 2 f0t
m t sin 2 f0t m t cos 2 f0t
注：m t 为低通信号，频率范围为-W , W ,且W f0 .
1 2
t m d
t T
r(t)
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Re rL (t )e j2
f0t
1 2
t
m
t T
d
cos
2
f0t
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5.3 窄带随机过程的统计特性：
随机过程的功率谱集中在某个中心频率附 近的一个很小的频带内，而该频带又远远 小于中心频率。
f010B GX ( f )
f
f0
0
f0
fct fct
ˆ t sin 2 t sin 2
fct fct
■ 若E t 0，E c t E s t 0.
■ 若 t 是高斯过程，c t 和s t 也是高斯过程. ■ 若 t 是广义平稳过程，c t 和s t 是联合广义平稳随机
过程(互相关函数仅与时间间隔有关).
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc Rc s Rs c Rˆ cos 2 fc R sin 2 fc
A(t) A(t)e j(t)
复包络
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1. 确定性信号（Deterministic signal）
解析信号的频谱关系：
X~() X () jXˆ ()
X () j[ j sgn() X ()]
又有：
2 X () 0
0
0
X~() A~( 0 )
解析信号的频谱为复包络频谱的平移。
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X () X () jXˆ ()
1. 确定性信号（DeterministiXc(s)ignj[alj）sgn()X ()]
X ()
X () sgn() X ()
jXˆ ()
X~ ( )
A~() 0
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~x (t) A~(t)e j0t A~(t) ~x (t)e j0t
RXˆX () RˆX ()
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（9） RXXˆ ( ) RXXˆ ( ) 互相关函数是奇函数
RXXˆ (0) 0 意味着 X (t) 与 Xˆ (t) 正交
RXXˆ ( ) Rˆ(- ) -[R( ) * h( )] [R( ) *[h( )]] R( ) * h( ) Rˆ ( ) RXXˆ ( )
hL (t)
1 2
h(t )e j2
fc t
f
h (t)的等效低通特性 21
频带信号与带通系统(4)
频带信号通过带通系统
x(t)
h(t) r(t)
xL (t )
hL (t )
rL (t)
x(t ) Re xL (t )e j2 fct
h(t ) 2 Re hL t e j2 fct
t
x(t)
1
xˆ (t)
t
xˆ (t)
1
x(t)
t
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Hilbert变换的基本性质
性质
重变换： H{H[x(t)]} x(t)
等能量： x2 (t )dt xˆ 2 (t )dt
正交性：
x(t ) xˆ (t )dt 0
奇偶性： x(t ) ~ 偶函数 xˆ (t ) ~ 奇函数
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5.3.2
Rc Rs R cos 2 fc Rˆ sin 2 fc
Rc s Rs c Rˆ cos 2 fc R sin 2 fc
奇函数
Rˆ 0 0
■ Rc 0 Rs 0 R 0 E t 0
2.
■ Rcs 0 Rsc 0 0.
频带信号的表示方法
令 xL t xc t jxs t , 又 x(t) x(t) jxˆ(t)，则有
x(t) xc (t)cos 2 fct xs (t)sin 2 fct
同相分量
正交分量
若令 xL (t ) A(t )e j t ,
x(t ) A(t ) cos[2 fc t (t )]
x(t ) ~ 奇函数 xˆ (t ) ~ 偶函数
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2. 性质 （1）
H[xˆ(t)] x(t) 两次变换等于反相
（2）
H[cos(0t )] sin(0t )
H[sin(0t )] cos(0t )
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2. 性质
（3） H[a(t) cos0t] a(t)sin 0t
Y (t) A(t) cos[0t (t)]
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5.3.1 窄带随机过程的准正弦表示及低通表示
定义：f fc
(t) a (t)cos 2 fct (t)
c t cos 2 fct s t sin 2 fct
■ t 的等效低通表示
(t ) (t ) jˆ(t ) L (t )e j2 fct
H( f ) A
h(t ) H ( f )
fc W fc W
0
fc W fc fc W
f
Z( f ) 2A
h(t) h(t) j hˆ(t) H( f ) 2H( f )u( f )
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0
fc W fc fc W
f
HL( f ) A W 0 W
HL f H f fc u f fc
R Rˆ jRˆ jRˆ
2 R jRˆ
P f 4P f u f
■ RL E L * t L t E * t e j2 fct t e j2 fc t
R e j2 fc
PL f P f fc
PL ( f )
例.
已知
x(t) m t cos 2
f0t,
h
t
cos 0,
2
f0t, 0 其他
t
T
，且f0T
1,
求r(t ).
解： (1) x(t) m t cos 2 f0t
x(t ) m t cos 2 f0t jm t sin 2 f0t m t e j2 f0t
xL (t ) x t e j2 f0t m t
H[a(t)sin 0t] a(t) cos0t
x(t) a(t) cos0t
X
()
1 2
[ A(
0
)
A(
0
)]
Xˆ
()
-
j