一般矩阵可逆的判定
一般矩阵可逆的判定
Good
（11统计数学与统计学院 1111060231）
摘要：作为一张表，矩阵的运算规则具有特殊性。

在运算的过程中，逆矩阵则是作为矩阵乘法的逆运算而存在的。

由于矩阵乘法的逆运算仅限于方阵，故而逆矩阵又作为一项特殊的矩阵除法运算而存在。

对于矩阵的运算来说，逆矩阵是不可缺少的一部分。

在以线性代数为基础的研究中，逆矩阵是解决实际问题的一个最直观，最实用的工具。

然而在实际研究中，并不是所有方阵都存在逆矩阵，那么对于矩阵可逆的判定就显得极其重要了。

关键字：阶方阵；；；；
0 引言
逆矩阵是矩阵乘法逆运算的结果。

这个逆运算的过程被作为矩阵运算的一部分而不可或缺。

对于所有矩阵而言，只有方阵中可逆的那部分才存在逆矩阵；就好像四边形一样，只有当矩形的四边相等才能被叫做正方形。

然而也就是这很特殊的一小部分，它的运用却充斥着所有与线性代数相关的领域。

比如：物理学，经济学，统计学，数学，社会管理学等等。

对于矩阵的运算来说，逆矩阵的运算至关重要。

由于矩阵在实际运用中具有的重要作用，而逆矩阵对于矩阵来说又具有重要的作用。

在以矩阵为研究对象的研究过程中，研究逆矩阵也就有了很重要的意义。

对于研究逆矩阵的过程中，“什么样的矩阵才可逆？”是值得深讨的问题。

就像求四边形中的正方形一样，要求正方形，最基本的前提就是：四边形必须是矩形。

只有四边形满足四个内角都是90度的时候，四边形才称的上是矩形。

而对于矩形来说，只有满足矩形的四条边都相等时，这样的矩形才能被称为正方形。

对于矩阵可逆来说，一个矩阵要可逆，最基本的前提：必须满足矩阵的行列相等，矩阵必须是一个方阵才行。

研究方阵的可逆，对于实际
应用才存在实际意义。

那么对于方阵来说，又需要满足什么样的条件，方阵才可逆呢？本文也就是从可逆矩阵的判定条件入手，着重分析可逆判定的充要条件。

最后介绍几种常用的求解逆矩阵的方法。

1 矩阵的概念
1.0矩阵的定义
定义1：令F是一个数域，用F上的个数排成行列的矩阵列，则称为阵，也称为一个F上的矩阵，简记为。

1.1逆矩阵的定义
定义2：设是数域F上的阶方阵，若数域F上同时存在一个阶方阵,使得
则称是的逆矩阵，记作：。

2 矩阵可逆的判定
2.0矩阵可逆判定的前提
对于一个矩阵，要判定该矩阵是否可逆，首先必须要知道的就是该矩阵是不是方阵。

跟要判断一个四边形是不是正方形一样，如果四边形不是矩形，那么也就不可能是正方形。

如果已经是矩形，那么就需要进一步判定是不是正方形。

内容不一样，但思想是相通的。

这里要判定矩阵是否可逆，最基本的前提就是：矩阵必须是方阵！在满足该前提的情况下，再去讨论矩阵是否可逆才具有意义，否则是没意义的。

2.1由定义判定
由“2.0矩阵可逆判定的前提”和定义“1.1逆矩阵的定义”可知，从满足前提的矩阵可知，若存在一个方阵，使得矩阵，那么就可以称矩阵是可逆的，矩阵就是矩阵的逆矩阵。

记作：。

如果不存在方阵使得，那么就说矩阵是不可逆的。

但是这种通过定义判断的方法存在局限性，只适用于很直观，很简单的矩阵。

下面通过一个例子来分析。

例子1：设存在一个方阵和方阵，如下所示：
解析：从题目可知矩阵和矩阵同时满足可逆的前提条件。

但对于矩阵来说，定义无法直接给出矩阵的逆矩阵，因而无法判断是否可逆。

但是却可以马上判断出矩阵是可逆的，并且可以马上写出矩阵的逆矩阵，即：
2.2矩阵秩的判定
定理1：设是数域F上的阶方阵，若可逆，那么。

从定理1可知，一个矩阵可逆，矩阵必须是满秩的。

在例子1中，矩阵很明显是满秩。

即，即矩阵是可逆的。

那么对于矩阵是否可逆，则需要经过矩阵的初等变换求出矩阵是否是满秩的。

经过初等变换，可以得出,那么矩阵也是可逆的。

2.3行列式判别法
定理2：设是数域F上的阶方阵，若，那么是可逆的。

对于例子1中的方阵和方阵，可以求出，那么方阵可逆。

对于方阵，要求相对应的行列式的值。

通过行列式的性质可将化简。

由于，所以通过行列式判断也是可逆的。

2.4特征值判别法
定理3：设是数域F上的阶方阵，若存在特征向量λ使得，若特征向量λ中的任意的一个元素，那么是可逆的。

对于例子1中的矩阵有，即：
解析：
通过求解矩阵的特征值，对于，所以矩阵是可逆的。

3 逆矩阵的求解
3.1定义法求逆矩阵
从定义2和2.1可知用定义法求解逆矩阵存在很大的局限性，只适用于很直观，很简单的矩阵。

3.2初等变换求逆矩阵
定义3：矩阵的初等变换
<第一类> 对调矩阵中任意两行（列）的位置。

<第二类> 用一非零数乘以矩阵的某一行（列）。

<第三类> 将矩阵中的某一行（列）乘以常数加到另一行（列）。

定义4：若是数域F上可逆的阶方阵，则可以通过初等变换为单位矩阵,在变换的过程中，当转换为时，相应的也转换为。

记为：
对于例子1中的矩阵，由于判定的结果是可逆的，那么下面将利用初等变换法来求出矩阵的逆矩阵。

解析：
3.3伴随矩阵求逆矩阵
定理4：阶矩阵可逆的充要条件是非奇异,那么，为矩阵的伴随矩阵。

定义5：伴随矩阵：
,是中的代数余子式。

为矩阵的伴随矩阵。

定义6：<行列式展开式>
若,则；，，其中<代数余子式>
分析步骤：
<1>设阶矩阵是非奇异阵，那么可逆。

那么如下所示：
根据定义6可知的值为。

∵若,则；若，
∴
例子1中的矩阵
∵通过前面的判别分析可以知道矩阵是可逆的。

∴矩阵是非奇异的。

下面用矩阵伴随矩阵法求出矩阵的逆矩阵。

<1>求出伴随矩阵。

<2>求出矩阵的行列式。

<3>根据定理4求出矩阵的逆矩阵
<4>验证
<5>结论
用伴随矩阵的方法和初等变换法所求的结果是一致的，只不过伴随矩阵的方法比较繁琐，当矩阵的阶数高于3阶时，初等变换法相对较方便。

除此以外还有其他的一些其逆矩阵的方法，比如：分块矩阵求逆矩阵，分解矩阵求逆矩阵，递推法求逆矩阵，特征多项式法等
多种方法。

这里就不一一介绍这些方法了。

在实践中只有最简便的方法，才是最实用的，很多的方法虽然可以求出逆矩阵，但是方法太过复杂，但不能忽略那些思想，也许在某一个领域，这种思想才是最实用的。

4 总结
在求解一个矩阵的逆矩阵，很多人往往直接求解而不注重分析一个矩阵是否可逆，甚至有人直接拿着一个不是方阵的矩阵去求解逆矩阵，他就不会想到一个矩阵要可逆，最基本的前提：矩阵必须是一个方阵。

然而也有很多的人知道这个前提，虽然知道怎么求解一个矩阵的逆矩阵，但是却不会去判断一个矩阵是否可逆。

这样做很多时候只会浪费时间去求一个不可逆的矩阵。

本文中也介绍了几种判断矩阵可逆的方法，虽然不是很全面，但是对一般矩阵可逆的判断已经足够了。

在知道矩阵可逆之后，再去求解矩阵的逆矩阵才是明智的。

对于矩阵的逆矩阵求解，本文介绍了两种求一般矩阵逆矩阵的方法，初等变换法，伴随矩阵法，对于不是研究的人员这已经足够了。

最后，在面对一个2阶方阵求逆矩阵时，也可以直接套公式
，这是伴随矩阵法求二阶逆矩阵的过程，也是较为方便的。

参考文献
[1]姚慕生，《高等代数学》[M],上海：复旦大学出版社（第二版），2002
[2]张禾瑞，郝炳新，《高等代数》[M],北京：高等教育出版社（第五版），2007
[3]同济大学数学系编，《线性代数》[M],北京：高等教育出版社（第五版），2007。