典型例题（二）方阵可逆的判定例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式：（1）若0||≠A , 则T T A A )()(11--=； （2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则***)(A B AB =；（3）T T A A )()(**=； （4）若0||≠A , 则*11*)()(--=A A ； （5）*1*)1()(A A n --=-； （6）若0||≠A , 则ll A A )()(11--=（l 为自然数）； （7）*1*)(A k kA n -=. 证 （1）因为0||≠A , 故A 是可逆矩阵, 且E AA =-1两边同时取转置可得E E A A AA T T T T ===--)()()(11故由可逆矩阵的定义可知T A )(1-是A T 的逆矩阵. 即11)()(--=T T A A （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有E AB AB AB ||)()(*=（2-7）另一方面B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*===（2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知))(()()(***AB A B AB AB =又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘1)(-AB 可得***)(A B AB = （3）设n 阶方阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211于是可得A 的伴随矩阵*A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣=nn nnn A A A A A A A2122212*注意到A 的转置矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣=nn nnn Ta a a a a a A 2122212 可推出TA 的伴随矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T A A A A A A A A A A212222111211*)(比较*A 与*)(T A 可知**)()(T T A A = （4）因为0||≠A , 故A 可逆, A 的逆矩阵为1-A , 并且由E A A A ||*=可知1*||-=A A A由于0||≠A , 1-A 可逆且E A A A ||)(1*11---=可得A A A ||1)(*1=-另一方面, 由E A A A A A A ==--||1||)(1*1*由矩阵可逆的定义知, *A 可逆, 并且*11*)()(--=A A （5）对于（3）给出的矩阵A , 有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211即ija -的代数余子式为nnnj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j ji a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------+-+++-++-+----+-+111111111111111111111111)1(), ,2 ,1,( )1(1n j i A ij n =-=-故*1121112122112111211111*)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(A A A A A A A A A A A n nn n n n n n n n n n n n n n -----------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-（6）因为0||≠A , 故A 可逆, 并且l l A A A A A AA A )()()(111111------=== （7）对于（3）给出的矩阵A , 有⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA212222111111类似于（5）可知ijka 的代数余子式为ijn A k 1-, 故例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵*A 满足TA A =*, 证明A 是可逆矩阵. 证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有E A A A AA ||**==反证, 假设A 不可逆, 故有0||=A , 由上式及条件TA A =*, 有O AA AA T ==* （2-6）设矩阵A 为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 由式（2-6）可知⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn n n nn n n n n Ta a a a a a a a a a a a a a a a a a AA212221212111212222111211O a a aa a a a aa a a a a a a ni nini ini n i ini ni ni i ni ini i i ni ni i ni ii n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========1212111212211211121121比较上式两边矩阵对角线上的元素有), ,2 ,1( 012n j ani ji==∑= l 个l 个故), ,2 ,1( 021n j a a a jn j j =====因此有A = O , 与A 是n 阶非零矩阵矛盾, 故A 是可逆矩阵. 例3 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 证明：111)(---=B A AB 的充要条件是BA AB =证 必要性：因为1111)()(----==BA B A AB因此 )())(()())((11BA BA AB BA AB AB --=即BA AB =充分性：因为BA AB =, 故1111)()(----==B A BA AB .例4 设A 是一个n 阶方阵, n 为奇数, 且1,1||-==A A A T , 证明)(A I -不可逆.证 因为1-=A A T , 故E AA AA T ==-1因此有|)(|||||E A A A AA A E T T -=-=-|||)(| ||E A E A A T-=-=||||)1(A E A E n --=--= 所以0||=-A E故A E -是不可逆矩阵.例5 设A 是n 阶方阵且对某个正整数k 满足O A k=, 证明A E -是可逆矩阵, 并求1)(--A E .证 由于)1)(1(112-++++-=-k k x x x x x 故对于方阵A 的多项式, 仍有))((12-++++-=-k k A A A E A E A E注意到O A k=, 故有E A A A E A E k =++++--))((12 因此)(A E -可逆, 并且121)(--++++=-k A A A E A E例6 设A 是)2(>n n 阶方阵, **)(A 是A 的伴随矩阵*A 的伴随矩阵, 证明： （1）A A A n 2**||)(-=； （2）2)1(**|||)(|-=n A A .证 （1）利用矩阵A 与矩阵A 的伴随矩阵的关系, 有E A AA ||*= 即 E A A A ||)(****=从而有A A A A A A A A AA ||])([)(||)(*********===对E A AA ||*=两边取行列式, 有nA E A A A AA ||||||||||||**===若A 可逆, 0||≠A , 故1*||||-=n A A , 于是有AA A A A A n 2***||||)(-==若A 不可逆, 则0||=A , *A 的秩小于或等于1, 故0)(**=A , 仍有A A A n 2**||)(-=（2）对E A A A ****||)(=两边取行列式, 有n A E A A A A A |||||||)(||||)(|********===若A 可逆, 所以0||≠A , 从而有0||||1*≠=-n A A , 于是可知2)1(111***||)|(||||)(|----===n n n n A A A A 若A 不可逆, 则2)1(**||0|)(|-==n A A例7 设A 、B 是同阶方阵, 已知B 是可逆矩阵, 且满足O B AB A =++22, 证明A 和B A +都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.证 因为22)(B B A A AB A -=+=+, 由于0||)1(|||||||)(|22≠-=-=+=+B B B A A B A A n 所以0||≠A , 0||≠+B A因而有 B A A +,可逆.由E B A A B =+--)()(12 可知A B B A 121)()(---=+由 E B B A A =+--12))((可知121))((--+-=B B A A.例8 设A 、B 均是n 阶方阵, 且AB E +可逆, 则BA E +也可逆, 并且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+证 考察两个矩阵的乘积A AB E BAB A AB E B BA E A AB E B E BA E 111)()())()((---+-+-+=+-+])()[(11A AB E AB A AB E B BA E --+++-+= A AB E AB E B BA E 1))((-++-+=E BA BA E =-+=因此)(BA E +可逆, 并且A AB E B E BA E 11)()(--+-=+ 例9 设n 阶矩阵A 、B 和B A +均可逆, 证明：（1）11--+B A 也可逆, 且A B A B B B A A B A11111)()()(-----+=+=+（2）1111111111111)()()(-------------+-=+-=+B B A B B A B A A A B A 证 （1）因为1)()(1111111-+=+=+-------B B A A BB B A A A B A 两边取行列式有||||||||1111----+=+B B A A B A因为 A 、B 、B A +可逆, 故0||1≠-A 0||1≠-B0||≠+B A 所以有0||11≠+--B A故 11--+B A 是可逆矩阵.B B A A B E B B A A B A 11111))((])()[(-----++=++111)]()[(---++=B A B A B EE A B E A B E =++=---111))((故B B A A B A 1111)()(----+=+同理可证A B A B B A 1111)()(----+=+.（2）因为])()[(])()[(1111111111----------+-+=+-+BA B A A A A B A A B A A A B A11])()[(--+-+=A B B A I B AI AA A B B A ==-+=--11)( 故 1111111)()(-------+-=+A B A A A B A同理可证1111111)()(-------+-=+B B A B B B A .如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。