高中数学 - 空间向量及向量的应用空间直角坐标系的原则：规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
设 ， ，空间向量的直角坐标运算：空间两点间距离： ；1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量）2：利用空间向量求线线角、线面角1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线的方向向量，则则：空间线段的中点 M （x ，y ，z ）的坐标：2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则3 ：利用空间向量求二面角其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等，操作方法：1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法：斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积,为斜面与射影所成二面角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角形, 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。
2．空间的距离点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离2）直线与平面所成的角的范围是[0, ] 。
射影转化法2方法 3）二面角的范围一般是指（0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。
作二面角的平面角常有三种1）异面直线所成的角的范围是bF如右图所示，a、b 是两异面直线，n是a和b 的法向量，点 E ∈a，F∈ b ，则异面直线 a 与b 之间的距离EF n 是dn2）用法向量求点到平面的距离AB n 如右图所示，已知AB 是平面α的一条斜线，n 为平面α的法向量，则 A 到平面α的距离为d 如右图所示，已知AB 是平面α的一条斜线，n为平面α的法向量，则A到平面α的距离为d n（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题。
（ 4 ）用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题。
（ 5 ）用法向量求二面角如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面α与β所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝6）法向量求直线与平面所成的角要求直线 a 与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量n 与直线 a 的夹角的余弦cos n,a ，易知θ= n,a或者2n,a向量的应用例题1.在四边形 ABCD 中， AB ·BC =0， BC = AD ，则四边形 ABCD 是A. 直角梯形B.菱形C. 矩形D. 正方形解析：由 AB · BC =0 知 AB ⊥ BC .由 BC = AD 知 BC AD .∴四边形 ABCD 是矩形 . 答案： C2. 已知 a 、 b 是两个非零向量，当 a+tb （t ∈R ）的模取最小值时， （1）求 t 的值； （2）求证： b ⊥（ a +tb ）. 解：（ 1 ） 设a 与b 的夹角为 θ，则θ， | a +tb | 2a +tb )2=| a | 2+t 2| b | 2+2a ·tb )=|a |2+t 2|b |2+2t |a || b |cos θ=| b | 2(t +|a|cos |b|θ)2+| a | 2sin 2所以当 t = ab 2 时， | a +tb | 有最小值 . |b|2 ab a +tb )=b ·( a － 2 ·b )=a ·b －a ·b =0，所以 b ⊥( a ⊥tb ). |b|2|a|cos θ=－ |a||b|cos |b|2）证明：因为 b ·已知 OA =a ， OB =b ， |b|2a ·b =| a － b |=2 ，当△ AOB 面积取最大值时，求 a 与 b 的夹角 . 解：因为 | a －b | 2=4 ， 11 S △AOB = OA · OB sin θ= | a || 22 所以 a 2－2a ·b +b 2=4.所以|a | 2+| b | 2=4+2 a ·b =8， 1 2 1 2 2 2 1 2 2 b | 1 cos = |a| |b| ( a b ) = |a| |b|≤12 (|a|2|b|2 )2 2当且仅当 | a |=| b |=2 时取等号）所以当 | a |=| b |=2 时，△ AOB 的面积取最大值， 这时， cosθ= a b1， |a||b| 2 2 2 ， 所以 θ=60 ° . 3. 如图，△ ABC 的 BC 边的中点为 M ， 利用向量证明： AB 2+AC 2=2 AM 2+BM 2). 证明：设 AM =m ， AB =b ， AC =c ，则 m =A BM Cb c c ，m ·m =2bc1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 = AB 2+ AC 2+ AB ·AC ·cos ∠BAC = AB 2+ AC 2+ AB ·AC · 44 1 2 1 2= AB 2+ AC 2+ 44又∵ BC 2=4 BM 2，24 2 AB 21 12 1 2 1 2 4 4 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 (AB 2+AC 2－BC 2). ∴AM 2= AB 2+ AC 2－ BC 2.4∴ AB 2+ AC 2=2 ( AM 2 +BM 2). 22 4. 已知 A （4，0）， N （ 1 ， 0 ），若点 P 满足 ANAP=6| PN |.1 ）求点 P 的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；21b 2+ b · 2 AC 212c + c 4 BC 2 2AB AC2）求| PN | 的取值范围；3）若 M （－ 1 ， 0），求∠ MPN 在［ 0，π］上的取值范围解：（1）设P （x ，y ），AP =（x －4，y ），PN =（1－x ，－y ），AN =（－3， 0 ），∵ AN · AP =6| PN | ，∴－3x －4） =6 （1 x ）2 （ y ）2 ，即 3x 2+4 y 2=12.2y 2=1. 3∴ P 点的轨迹是以（－ 1，0）、（ 1 ， 0 ）为焦点，长轴长为 4的椭圆 .2）N （1，0）为椭圆的右焦点， x =4 为右准线，设 P （ x 0，y 0），P 到右准线的距离为d ，d =4 － x 0，|PN |=e = 1 ， d = = 2，| PN |= 1d =4 x 0.∵－2≤x 0≤2，∴1≤|PN | ≤3. 当| PN |=1 时，P （2，0）22 ；当 | PN |=3 时， P （－2，0）. 3）令 | PN |= t （1≤t ≤3），则 | PM |=4 －t ，| MN |=2 ， cos ∠MPN =| PN | 2 | PN || PM ||PM |2 |MN |2 t 2 （4 t ）24 6 = － 1+ 2t （4 t ） t （4 t ） 由 1≤t ≤3，得 3≤t （4－t ）≤ 4，5. 如图，已知△ ABC 的顶点坐标依次为 其横坐标为 4 ，在 AC 上求一点 Q ，使线段 1π ≤cos ∠ MPN ≤1. ∴0≤∠ MPN ≤ . 23 A （1，0），B （5，8），C （7，－ 4），在边 AB PQ 把△ ABC 分成面积相等的两部分 .上有一点 P ，解：设 P 分 AB 的比为 λ1，则15 4=1又S ABCS APQ1| AB || AC |sin 1| AP || AQ |sin BACBAC | AB| | AP|设 λ2= AQQC则λ2=2.∴x Q = 1 7 2=5，212x ，x ）， b =（x ，3 1）求 f （x ）=a ·b 的表达式； 1 6. 已知 a =x －3） BOA Qλ1=3 ，即|AP||PB||AC|= 2=1| AQ | 42 y Q = Q 1 2， x ∈[－4 ， 2）求 f （ x ）的最小值， 1 2 1 3 2 解：（ 1）f （x ）=a ·b = x 2·x +x ·（ x －3）= x 3+x 2－322） f （x ）=x 2+2 x －3= （x +3）（ x －1）.=3 | AB| | AP||AC | |AQ |∴Q （5，并求此时 3x ，x ∈ 3，即 |AQ |=2.2 |QC |－ 83）. a 与b 的夹角 . － 4，4] .5 故当x=1 时，f （x）有最小值为－5.31此时a=（，1），b=（1，－2）.设θ为a与b的夹角，则cosθ3a b=－2. 又由θ∈[0，|a||b| 2 π］，得3πθ= .4。