高中数学空间向量训练题（含解析）一．选择题1．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（）A．++B．++C．++D．++2．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2 B．3 C．4 D．63．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C． D．或4．已知向量，且，则x的值为（）A．12 B．10 C．﹣14 D．145．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线6．已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α∥β，则λ的值是（）A．B．﹣6 C．6 D．7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D．8．有四个命题：①若=x+y，则与、共面；②若与、共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知向量=（2，﹣1，1），=（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D．810．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．B． C．D．11．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（）A． B． C．D．二．填空题（共5小题）12．已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k= ．13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则•的最大值为．14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，﹣1，﹣4），=（4，2，0），=（﹣1，2，﹣1）．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正确的是．15．设空间任意一点O和不共线三点A，B，C，且点P满足向量关系，若P，A，B，C四点共面，则x+y+z= ．16．已知平面α⊥平面β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，并且AC⊥l，BD⊥l，AB=6，BD=24，AC=8，则CD= ．三．解答题（共12小题）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA丄平面ABCD，AB丄BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明PC丄AD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且SD=AD，E是SA的中点．（1）求证：直线BA⊥平面SAD；（2）求直线SA与平面BED的夹角的正弦值．20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=，E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥CD；（Ⅱ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（Ⅲ）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．22．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．23．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=CC1，平面BAC1⊥平面ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°，AC1∩A1C=O．（Ⅰ）求证：BO⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值．24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：MN⊥平面PAB；（Ⅱ）当PA=AB=2，二面角C﹣AN﹣D大小为时，求PN的长．25．如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．26．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，E是PB上任意一点．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．28．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．29.已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的余弦值.PABC D30如图，在三棱柱ABC﹣A1B 1C1中，AA1⊥底面ABC，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA1=2，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：B1C1∥平面BCD；（Ⅱ）求三棱锥B﹣C1CD的体积；（Ⅲ）在线段BD上是否存在点Q，使得CQ⊥BC1？请说明理由．31如图，在三棱锥A﹣BCD中，O、E分别为BD、BC中点，CA=CB=CD=BD=4，AB=AD=2（1）求证：AO⊥面BCD（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值（3）求点E到平面ACD的距离．32在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．2018年01月20日shu****e168的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（）A．++B．++C．++D．++【解答】解：如图所示，=+，=（+），=，=﹣，=．∴=+=+=+（﹣）=+=×（+）+×=++=++．故选：C．2．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：∵=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），三个向量共面，∴，∴（2，﹣1，2）=x（﹣1，3，﹣3）+y（13，6，λ）∴解得：故选：B．3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C． D．或【解答】解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，故选：C．4．已知向量，且，则x的值为（）A．12 B．10 C．﹣14 D．14【解答】解：因为向量，且，属于=﹣8﹣6+x=0，解得x=14；故选：D．5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线【解答】解：A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=x+y+z，则P，A，B，C四点共面的充要条件是x+y+z=1，而=++，因此P，A，B，C四点不共面．故选：A．6．已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α∥β，则λ的值是（）A．B．﹣6 C．6 D．【解答】解：∵α∥β，且平面α的法向量是=（2，3，﹣1），平面β的法向量是=（4，λ，﹣2），∴即存在实数μ使得，即（2，3，﹣1）=（4μ，λμ，﹣2μ），解得μ=，λ=6故选C．7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：=（﹣1﹣t，t﹣1，﹣t），∴==≥，当且仅当t=0时取等号．∴的最小值是．故选：A．8．有四个命题：①若=x+y，则与、共面；②若与、共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：若=x+y，则与，肯定在同一平面内，故①对；若=x+y，则、、三向量在同一平面内，∴P、M、A、B共面．故③对；若=x+y，则与、共面，但如果，共线，就不一定能用、来表示，故②不对；同理④也不对．∴真命题的个数为2个．故选：B．9．已知向量=（2，﹣1，1），=（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D．8【解答】解：设向量，的夹角为θ，=，=，∴cosθ===．∴sinθ==．∴以，为邻边的平行四边形的面积S=••sinθ==，故选：B．10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）A．B． C．D．【解答】解：如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1（0，0，1），E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．=（1，1，﹣1），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，1），设平面ACD1的法向量为=（a，b，c），则，取a=2，得=（2，1，2），点E到平面ACD1的距离为：h===．故选：C．11．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（）A． B． C．D．【解答】解：∵△A1BC1是等边三角形，A1B1=BB1=B1C1，∴B1在平面A1BC1上的射影为△A1BC1的中心O，设正方体棱长为1，M为A1C1的中点，则A1B=，∴OB=BM==，∴OB1==，∴sin∠B1BO==，即BB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，∵DD1∥BB1，∴直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为．故选：A．二．填空题（共5小题）12．已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k= ．【解答】解：∵向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），∴=（4﹣k，﹣7，0），=（﹣2k，﹣2，0）．又A、B、C三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则•的最大值为．【解答】解：连接PO，可得•==++=﹣，当取得最大值时，•取得最大值为=．故答案为：．14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，﹣1，﹣4），=（4，2，0），=（﹣1，2，﹣1）．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正确的是①②③．【解答】解：由=（2，﹣1，﹣4），=（4，2，0），=（﹣1，2，﹣1），知：在①中，=﹣2﹣2+4=0，∴⊥，∴AP⊥AB，故①正确；在②中，•=﹣4+4+0=0，∴⊥，∴AP⊥AD，故②正确；在③中，由AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，知是平面ABCD的法向量，故③正确；在④中，=（2，3，4），假设存在λ使得=，则，无解，∴∥．故④不正确；综上可得：①②③正确．故答案为：①②③．15．设空间任意一点O和不共线三点A，B，C，且点P满足向量关系，若P，A，B，C四点共面，则x+y+z= 1 ．【解答】若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式：，则P，A，B，C四点共面的充要条件是：x+y+z=1，故答案为：1．16．已知平面α⊥平面β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，并且AC⊥l，BD⊥l，AB=6，BD=24，AC=8，则CD= 26 ．【解答】解：∵平面α⊥平面β，且α∩β=l，在l上有两点A，B，线段AC⊂α，线段BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，AB=6，BD=24，AC=8，∴=，∴=（）2==64+36+576=676，∴CD=26．故答案为：26．三．解答题（共12小题）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA丄平面ABCD，AB丄BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明PC丄AD；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣D的正弦值；（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）∵在△ADC中，AD=2，AC=1，DC=∴AC2+AD2=CD2，∴AD⊥AC，…（1分）如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A（0，0，0），D（2，0，0），C（0，1，0），B（﹣，，0），P（0，0，2），得=（0，1，﹣2），=（2，0，0），∴=0，∴PC⊥AD．…（4分）解：（Ⅱ），，设平面PCD的一个法向量=（x，y，z），则，不妨令z=1，得=（1，2，1），可取平面PAC的一个法向量=（1，0，0），于是cos＜＞==，从而sin＜＞=，所以二面角A﹣PC﹣D的正弦值为．…（8分）（Ⅲ）设点E的坐标为（0，0，h），其中h∈[0，2]，由此得=（），由=（2，﹣1，0），故，∵满足异面直线BE与CD所成的角为30°，∴=cos30°=，解得h=，即AE=．…（13分）18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；（Ⅱ）若M为棱PC的中点，求异面直线AP与BM所成角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，可得CD∥BQ．∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90° 即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ⊂平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．（Ⅱ）∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD．（注：不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）因此，以Q为原点、QA、QB、QP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示则Q（0，0，0），A（1，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣1，，0）∵M是PC中点，∴M（﹣，，）∴=（﹣1，0，），=（﹣，﹣，）设异面直线AP与BM所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|==．∴异面直线AP与BM所成角的余弦值为．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且SD=AD，E是SA的中点．（1）求证：直线BA⊥平面SAD；（2）求直线SA与平面BED的夹角的正弦值．【解答】（本题满分12分）解：（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩SD=D，∴AB⊥平面SAD，…（6分）（2）以D为原点，分别以DA、DC、DS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设AB=2，则A（2，0，0），S（0，0，2），B（1，2，0），E（1，0，0），故=（2，0，﹣2），=（2，2，0），=（1，0，1），…（8分）设平面BED的一个法向量为=（x，y，z），由得，取=（1，﹣1，﹣1），…（10分）设直线SA与平面BED所成角为θ，因为cos==，所以sinθ=，即直线SA与平面BED所成角的正弦值为…（12分）20．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90°AD∥BC，AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=，E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：PE⊥CD；（Ⅱ）求PC与平面PDE所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵AD⊥侧面PAB，PE⊂平面PAB，∴AD⊥EP．又∵△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点，∴AB⊥EP．∵AD∩AB=A，∴PE⊥平面ABCD．∵CD⊂平面ABCD，∴PE⊥CD．…（5分）（Ⅱ）以E为原点，EA、EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则E（0，0，0），C（1，﹣1，0），D（2，1，0），P（0，0，）．=（2，1，0），=（0，0，），=（1，﹣1，﹣）．设=（x，y，z）为平面PDE的一个法向量．由，令x=1，可得=（1，﹣2，0）．…（9分）设PC与平面PDE所成的角为θ，得=所以PC与平面PDE所成角的正弦值为．…（12分）21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点，PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣E的余弦值；（Ⅲ）在线段PE上是否存在点M，使得DM∥平面PBC？若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）证明：由已知平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PA⊥平面ABCD．所以PA⊥CD．又因为BE⊥AD，BE∥CD，所以CD⊥AD．所以CD⊥平面PAD．因为CD⊂平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD．…（4分）（Ⅱ）作Ez⊥AD，以E为原点，以的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，则点E（0，0，0），P（0，﹣2，2），A（0，﹣2，0），B（2，0，0），C（1，2，0），D （0，2，0）．所以，，．设平面PBC的法向量为=（x，y，z），所以即令y=1，解得=（2，1，3）．设平面PBE的法向量为=（a，b，c），所以即令b=1，解得=（0，1，1）．所以cos＜＞=．由图可知，二面角C﹣PB﹣E的余弦值为．…（10分）（Ⅲ）“线段PE上存在点M，使得DM∥平面PBC”等价于“”．因为，设，λ∈（0，1），则M（0，2λ﹣2，2﹣2λ），．由（Ⅱ）知平面PBC的法向量为=（2，1，3），所以．解得．所以线段PE上存在点M，即PE中点，使得DM∥平面PBC．…（14分）22．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．（Ⅰ）求证：AB⊥DE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点O，连接EO，DO．因为EB=EA，所以EO⊥AB．…（1分）因为四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD．…（2分）因为EO∩OD=O所以AB⊥平面EOD．…（3分）因为ED⊂平面EOD所以AB⊥ED．…（4分）（Ⅱ）解：因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，平面ABE∩平面ABCD=AB所以EO⊥平面ABCD，因为OD⊂平面ABCD，所以EO⊥OD．由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…（5分）因为△EAB为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以O（0，0，0），A （﹣1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1）．所以，平面ABE的一个法向量为．…（7分）设直线EC与平面ABE所成的角为θ，所以，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为．…（9分）（Ⅲ）解：存在点F，且时，有EC∥平面FBD．…（10分）证明如下：由，，所以．设平面FBD的法向量为=（a，b，c），则有所以取a=1，得=（1，1，2）．…（12分）因为=（1，1，﹣1）•（1，1，2）=0，且EC⊄平面FBD，所以EC∥平面FBD．即点F满足时，有EC∥平面FBD．…（14分）23．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=CC1，平面BAC1⊥平面ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°，AC1∩A1C=O．（Ⅰ）求证：BO⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求二面角A﹣BC1﹣B1的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）依题意，四边形AA1C1C为菱形，且∠AA1C1=60°∴△AA1C1为正三角形，又∠BAC1=60°，∴△BAC1为正三角形，又O为AC1中点，∴BO⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，∵BO⊂平面AA1CC1，∴BO⊥平面AA1C1C．…（4分）解：（Ⅱ）以O为坐标原点，建空间直角坐标系，如图，令AB=2，则，C1（0，1，0）∴，设平面BB1C1的一个法向量为，由得，取z=1，得…（9分）又面ABC1的一个法向量为∴…（11分）故所求二面角的余弦值为…（12分）24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，MN⊥PB．（Ⅰ）求证：MN⊥平面PAB；（Ⅱ）当PA=AB=2，二面角C﹣AN﹣D大小为时，求PN的长．【解答】（Ⅰ）证明：在正方形ABCD中，AB⊥BC，∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PA⊥BC．∵AB∩PA=A，且AB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥PB，∵MN⊥PB，∴MN∥BC，则MN⊥平面PAB；（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，如图，以A为原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则C（2，2，0），D（0，2，0），B（2，0，0），P（0，0，2）．设平面DAN的一个法向量为=（x，y，z），平面CAN的一个法向量为=（a，b，c），设=λ，λ∈[0，1]，∵=（2，2，﹣2），∴=（2λ，2λ，2﹣2λ），又=（0，2，0），∴，取z=1，得=（，0，1），∵=（0，0，2），=（2，2，0），∴，取a=1得，到=（1，﹣1，0），∵二面C﹣AN﹣D大小为，∴|cos＜，＞|=cos=，∴|cos＜，＞|=||=||=，解得λ=，∴，则PN=．25．如题图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明：DE⊥平面PCD（Ⅱ）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE=，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD⊥DE，∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内的两条相交直线，∴DE⊥平面PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=，过点D作DF垂直CE于F，易知DF=FC=FE=1，又由已知EB=1，故FB=2，由∠ACB=得DF∥AC，，故AC=DF=，以C为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），∴=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0），设平面PAD的法向量=（x，y，z），由，故可取=（2，1，1），由（Ⅰ）知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量可取=（1，﹣1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．26．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB=BE=EC=2，G，F分别是线段BE，DC的中点．（1）求证：GF∥平面ADE；（2）求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．【解答】解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接HG，HD，∵G是BE的中点，∴GH∥AB，且GH=AB，又∵F是CD中点，四边形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且DF=AB，即GH∥DF，且GH=DF，∴四边形HGFD是平行四边形，∴GF∥DH，又∵DH⊂平面ADE，GF⊄平面ADE，∴GF∥平面ADE．（2）如图，在平面BEG内，过点B作BQ∥CE，∵BE⊥EC，∴BQ⊥BE，又∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥BE，AB⊥BQ，以B为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，0，2），B（0，0，0），E（2，0，0），F（2，2，1）∵AB⊥平面BEC，∴为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面AEF的法向量．又=（2，0，﹣2），=（2，2，﹣1）由垂直关系可得，取z=2可得．∴cos＜，＞==∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图，取AB中点M，连接MG，MF，又G是BE的中点，可知GM∥AE，且GM=AE又AE⊂平面ADE，GM⊄平面ADE，∴GM∥平面ADE．在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点可得MF∥AD．又AD⊂平面ADE，MF⊄平面ADE，∴MF∥平面ADE．又∵GM∩MF=M，GM⊂平面GMF，MF⊂平面GMF∴平面GMF∥平面ADE，∵GF⊂平面GMF，∴GF∥平面ADE（2）同解法一．27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，E是PB上任意一点．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴PD⊥AC又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BD∩PD=D∴AC⊥平面PBD，∵DE⊂平面PBD∴AC⊥DE…（6分）（II）解：分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，则由（I）知：平面PBD的法向量为，令平面PAB的法向量为，则根据得∴因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，则，即，∴…（9分）∴设EC与平面PAB所成的角为θ，∵，∴…（12分）28．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O 为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y 轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos ＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为29.已知四棱锥P—ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.（1）求点P到平面ABCD的距离；（2）求面APB与面CPB所成二面角的大小.ABC D（传统法）解（1）：如下图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O.连结OB、OA、OD，OB与AD交于点E，连结PE.∵AD ⊥PB ，∴AD ⊥OB . ∵PA =PD ，∴OA =OD .于是OB 平分AD ，点E 为AD 的中点，∴PE ⊥AD .由此知∠PEB 为面PAD 与面ABCD 所成二面角的平面角，∴∠PEB =120°，∠PEO =60°.由已知可求得PE =3，∴PO =PE ·sin ×23=23，即点P 到平面ABCD 的距离为23.（2）（空间向量法）解法一：如下图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA .P （0，0，23），B （0，233，0），PB 中点G 的坐标为（0，433，43），连结AG .又知A （1，23，0），C （－2，233，0）.由此得到GA =（1，－43，－43），PB =（0，233，－23），BC =（－2，0，0）.于是有GA ·PB =0，BC ·PB =0，∴GA ⊥PB ，BC ⊥PB . GA ，BC 的夹角θ等于所求二面角的平面角. 于是cos θ||||BC GA BC GA －772，由于题目中的二面角为钝角，所以所求二面角的大小为－772。