用法向量求二面角和证明两平面垂直
用法向量证明两平面垂直问题
要证两平面相互垂直，只需找出这两个平面的两个法向量，证明
这两个法向量相互垂直。
例1.如右图，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，
BD∥CE，且CE=CA=2BD，M是EA的中点。
求证：（1）DE=DA；
（2）平面BDM⊥平面ECA；
（3）平面DEA⊥平面ECA；
分析（3）：建立如图所示右手直角坐标系 ，不妨设CA=2，

则CE=2，BD=1，C（0，0，0），A（3，1，0），B（0，2，0），

E（0，0，2），D（0，2，1），2,1,3EA ，2,0,0CE ，1,2,0ED ， 分
别假设面CEA与面DEA的法向量是1111,,zyxn、3222,,zyxn，所以得
11111113203200xyzyxzz，22222
2222

3203202xyzxyyzzy










不妨取0,3,11n、2,1,32n，从而计算得021nn，所以两个法向量相互
垂直，两个平就相互垂直。
用法向量求二面角

如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量1n与2n，

则平面α与β所成的角跟法向量1n与 2n所成的角相等或互补，所
以首先必须判断二面角是锐角还是钝角。
例2、如下图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=a，AD=3a，

sin∠ADC=55，且PA⊥平面ABCD，PA=a，求二面角P-CD-A的平面
角的余弦值。
分析：依题意，先过C点CE⊥AD，计算得ED=2a，BC=AE=a,
建立如图右角直角坐标系，则P（0，0，a）,D(0,3a,0)，

C(a,a,0),aaPD,3,0,aaaPC,,,
0,3,0aAD,
0,,aaAC

取平面ACD的一个法向量1,0,01n，设平面PCD的法

z
y
x
E
A

D
B

P

C

z
y
x

M
C

B

A

E
D
向量是、3222,,zyxn，所以得222222222302032ayazyxaxayazxz。
不妨取3,1,22n，从而计算得14143143,cos212121nnnnnn
易得二面角P-CD-A的平面角是锐角，所以其角的余弦是14143