用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定
我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。

而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。

向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。

根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。

一． 规定法向量的指向方向
1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，
如：图1中的1n 向量。

2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的2n 向量。

二． 法向量的夹角和二面角大小的关系
1.设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量 21,n n 的夹角为ϕ，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有πϕθ=+（图
2）；
2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时ϕθ=（图3）
1.已知二面角βα--l ，若平面α的法向量)3,4,4(=，由向量的相等条件知，坐标是（4，4，3）的向量有无数多个，根据向量的自由性，我们只需做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面α法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。

2.若平面α法向量)1,3,4(--=，同理可做出从原点出发的法向量，如图5所示，显然，方向是指向二面角的外面。

四．应用举例
例题1. 如图6，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B !C 1D 1中G 、E 、F 分别为AA 1、AB 、BC 的中点，求作二面角G —EF —D 半平面GEF 的法向量并判断其方向。

解：以D 为原点建立空间直角坐标系，则E(1，
21,0) 、F(2
1
，1,0) 、 G(1,0，2
1
)由此得:
)21,21,0(-=)021,21(-=
设平面的法向量为),,(z y x = 由⊥及⊥可得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-=∙=-=∙021*******y x z y ⎩
⎨
⎧==⇒y z y x 令y=1取平面的一个法向量为)1,1,1(=n
评析因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量即可，再令其从原点出发，做出法向量)1,1,1(=n 如图所示，方向指向二面角G —EF —D 的外部。

例题2.如图7，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小．解 如图，建立空间直角坐标系． 依题意：A 1（0，0，2），D （0，4，0）． ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)0,2,2(),2,2,2(1-=-=QD Q A 半平面面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =
则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,
022,022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨
⎧==⇒,2,1312a a a a ∴)2,,(1112a a a n = 令a 1=1，则)2,1,1(2=n
做出从原点出发的向量)2,1,1(2=n ，如图所示，从图形得出，半平面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n 的方向指向为二面角A —A 1D —Q 的里面，半平面A 1DQ 的
y
z
法向量)2,1,1(2=n 的方向指向为二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的大小相等。

即：cos θ
=6
66
11,cos 21=⋅=
<n n ． ∴二面角A —A 1D —Q 的大小为6
6arccos。

评析（1）传统方法求二面角大小时需三个步骤：“找——证——求”，而用法向量求二面角大小时简化成了两步骤：“判断——计算”，这在一定程度上降低了学生解决立体几何问题的难度，也体现了各部分知识间的贯通性和灵活性，更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。

（2）求出法向量此)2,1,1(2=n 之后，在坐标系中令其从原点出发做出此法向量，然后判断其方向指向，即指向二面角A —A 1D —Q 的里面，又半平面A 1DQ 的法向量)2,1,1(2=n 的方向指向为二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的大小相等。

从而，二面角的大小利用向量的数量积而求得。

例题 3.如图8，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠
A BC=900，S A ⊥面A BCD ，S A =21，A B=BC=1，A D=21。

求侧面SCD 与面SB A
所成的二面角的余弦值。

解： 以A 为原点如图建立空间直角坐标系，
则S （0，0，
2
1
）， A （0，0，0）， B （0，1，0），C （1，1，0），D （2
1
，0，0），
)21
,1,1(),21,0,21(-=-=，
显然平面SB A 的一个法向量为1n =(1，0，0)， 设平面SCD 的一个法向量为2n =(x ，y ，z )，则2⊥平面SCD
∴)214121(,2102200
222,,n z z y x z x n -==⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅则取
由图知，半平面SB A 的法向量为1n =(1，0，0)的方向指向面SCD 与面SB A 所成
的二面角的里面，半平面SCD 的法向量)2
1
,41,21(2-=n 指向面SCD 与面SB A 所
成的二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的大小相等，由此得：cos θ=3
2,cos 212
121=>=
<n n ∴所求的二面角的余弦值为
3
2. 若在：)21
4121(,2102202--=-=⎩⎨
⎧=-+=-,,n z z y x z x 则取 这时，两个半平面的法向量就都指向面 SCD 与面SB A 所成的二面角的里面了， 如图9，两个法向量的夹角与二面角的 大小互补，即：
θ=-π<>21,n n
∴cos θ=32
|
|||,cos 212
12
1=>=<-n n n n <注：在求得关于x,y,z 的关系式，给z 赋值时，由于版面的空间有限，只好取z=2
1
，
而通常我们在做题时，一般都令z=1,这样便于计算。

>评析：（1）因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势；（2）法向量的取法可以灵活多变，但做出法向量的时候，要遵循一个原则，即：从原点出发。

将向量知识引进中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野，又给很多问题的解决增加了亮点，比如：在解析几何上，在立体几何上都有其非常广泛的应用，向量知识必将逐步的被我们广大师生所接受所认可并发挥其应有的作用。

图9。