AD n 2 cos AD, n | AD || n | 3 BD (1, 2,0) 取内部向量 BD AD 1 0, BD n 4 0 故二面角的余弦值为 2 3
.
课堂小结 1、弄清楚两法向量的夹角与二面角的关系。 2、利用内部向量判定二面角的大小。 3、用法向量求二面角大小的一般步骤。 4、感知空间中点、线、面在运动过程中的位 置关系的变化，及空间想象能力的培养。 5、分析、归纳问题的能力。
课后作业
教材112页，A组第6题. B组第2，3题.
根据观察，二面角为………。
齐相国老师刊登在《数学通讯》2009年第4期的《法向量 求二面角时法向量方向的判定法》。 李峰老师发表在《数学通讯》2010年第9期的《对“法向 量求二面角时法向量方向的判定方法”一文的改进 》
内部向量MN判定法
规定:如图,分别在半平面 α，β内各取一点 M,N(不在棱上取),我们称 MN (与法向量不共线) 为内部向量。
n1 n2 14 cos n1 , n2 42 | n1 || n2 |
A1 B (0, 2, 4) 取内部向量 A1 B n1 -10 0, A1 B n2 10 0
故二面角A1-DE-B的余弦值为 14 .
42
用法向量求二面角的大小的一般步骤:
1、建立空间直角坐标系，写出点的坐标。
2、求出两半平面的法向量，并求出其夹角。
3、用观察法，确定二面角的大小。或取内部向量 （同号相等，异号互补），判定二面角的大小。 4、下结论。
练习题2
如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD||BC, ∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AD=1, AB=BC=2 ,求侧面 SCD与面SBA所成的二面角的余弦值;
内部向量MN判定法
MN n1 0 MN n2 0 MN n1 0 MN n2 0
异 号 互 补
MN n1 0 MN n2 0
同 号 相 等
练习题2
如图，底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,AD||BC, ∠ABC=900,SA⊥面ABCD,SA=AD=1, AB=BC=2 ,求侧面 SCD与面SBA所成的二面角的余弦值; 解:建立如图空间直角坐标系， A(0,0,0), B( 0,2,0),C(2,2,0), D(1, 0,0),S(0,0,1) 易知平面SAB的法 向量 AD (1,0,0) ，求出平面 SDC的法向量 n (2, 1,2)
教材106页例2：求二面角α-l-β的余弦值。
教材109页例4:求二面角C-PB-D的大小。
改编教材109页 例4
如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底 面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证:PA||平面EDB; (2)求证:PB⊥平面EFD; (3)(改)求二面角F-BD-E的余弦值;
n1 n2 14 cos n1 , n2 42 | n1 || n2 |
解:建立如图空间直角坐标系， D(0,0,0), B( 2,2,0),C(0,2,0), E(0,2,1),A1(2,0,4) n1 (1, -1, 2) 平面BDE的法向量 平面A1DE的法向量 n2 (4,1, 2)
MN n1 0 MN n2 0
练习题1
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,点E在CC1 上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值; 解:建立如图空间直角坐标系， D(0,0,0), B( 2,2,0),C(0,2,0), E(0, 2,1),A1(2,0,4) 求得平面BDE的法 -1, 2) ，平面A1DE 向量 n1 (1, 的法向量 n2 (4,1, 2)
3
判断互补还是相等的简单的方法 是：观察二面角的大小来判定.
练习题1
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1A=4,AB=2,点E在 CC1上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;
练习题1
如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=4,点E在CC1 上，且C1E=3EC.求二面角A1-DE-B的余弦值;
n DE y z 0 n (1, 1,1) y0 n DB 2 x 2 AC n 6 cos AC , n 3 | AC || n |
根据观察，二面角为锐二面角， 故二面角F-BD-E的余弦值为 6 .
用法向量求二面角的大小
成都七中高新校区 康盛
两半平面的法向量与二面角有怎样的关系？
根据上图，分小组进行讨论---“两法向 量的夹角与二面角的关系.”
两法向量的夹角与二面角的关系
θ =π- φ 互补
θ= φ 相等
如何判别互补还是相等？
根据教材109页例4改编
如图，在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底 面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证:PA||平面EDB; (2)求证:PB⊥平面EFD; (3)(改)求二面角F-BD-E的余弦值; 解:建立如图空间直角坐标系， A(2,0,0), C(0,2,0)B( 2,2,0) , E(0,1,1) AC (2,2,0) 易得平面BDF的法向量 设平面 BDE的法向量 n ( x, y, z)