并且概率密度 f ( x ) 也满足所谓的归一性, 也就是


f ( x )dx 1
⑷ “ 连续随机变量的点概为零” , 即连续型随机变量 X 在其任一可取点处的取值概率恒等于零; 但 “离散随机变 量的点概不尽为零”, 因为后者在其任一可取之点处的取 值概率肯定不为零.
要点重申
⑸ 连续随机变量 X 在任何区间上的取值概率与区间 的开闭与否无关, 它恒等于概率密度在该区间上的积分， 即
解: (1) 由

f ( x ) d x 1, 得
3 2 3 3 0
1


f ( x )dx C (9 x )dx 2C (9 x 2 )dx
x3 3 2C (9 x ) |0 36 C 3
即有C 1
36.
于是概率密度为
1 (9 x 2 ), 3 x 3, f ( x ) 36 其它. 0,
4

3
f ( x )dx 1, 得
0, x0 x （2） t dt , 0 x3 0 6 F ( x) 3 t dt x t 2 dt , 3 x 4 0 6 3 2 1, x4
0, 2 x 12 , 2 3 2x x 4, 1,
1
1
0
1 ( 9 x 2 )dx 36
1 x 13 9x . 18 3 0 27
3
1
P{ X 2}


2
f ( x )dx
3 3
3
2
1 ( 9 x 2 )dx 36
1 x 2 9x . 36 3 2 27
而且：
f ( x)
b a
a
S f ( x )dx
a
b
X ……. b
P{a X b} S f ( x )dx
P{ X } f ( x )dx 1

由此推出连续 型随机变量 的定义
一、 连续随机变量及其分布密度
定义1(P40.定义) 对于随机变量 X 的分布函数 F(x), 若存在非负 可积 可积函数 f (x)，使得对任意实数 x，有 x 连续型的分布函数必连续 F ( x ) f ( t )d t , 则称 X 为连续型随机变量，称 f (x)为 X 的概率密度函数， 简称为 y 概率密度或密度. 判定一个函数 f (x) 为 面积为1 某连续型随机变量的 密度函数的基本特性： y = f (x) 概率密度的充要条件 (1) f (x) 0 ；
( 2) P{ X 0}
0
1 2 f ( x )dx ( 9 x )dx 3 36
0
1 x 3 0 1 ( 27 9) 1 , (9 x ) | 3 36 2 36 3
P{1 X 1} f ( x )dx 2
1
x0 0 x3 3 x4 x4
0 F ( x) 1
不过离散变量的分布函数仅是右连续的函数; 连续变量的分 布函数却是实轴上处处连续的函数 .
要点重申
⑶ 只有连续型随机变量 X 才存在概率密度 f (x), 它与 分布函数 F (x) 的相互关系是
F ( x)
x

dF ( x ) f (t )dt , f ( x ) dx
1
0
P{1 X 1 } ; ⑶ 分布函数 F ( x ) .

f ( x )dx Ae dx
x 0
Ae | x|dx



Ae x dx
A ( A) 2 A ,
P{1 X 1 } 0.5 e dx 1
同样： 必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然 事件。
注意 若X是连续型随机变量， { X=a }是不可能事件，则有 P { X a } 0.
若 P{ X a} 0,
不能确定 { X a} 是不可能事件
连 续 型
若 X 为离散型随机变量,
{ X a} 是不可能事件
⑹ 连续变量的点概为零说明:不可能事件的概率为零; 但概率为零的事件不尽为不可能事件.
Kx 2 例1 设 X ~ f ( x ) Kx 0
0 x2 2 x 3 求常数K 其它
解
由性质 得

2


f ( x )dx 1,
3 2

2
0
Kx dx Kxdx 1
点概为零的重要启示
(1) P{ x1＜X ≤x2} = P{ x1≤X ≤x2} = P{ x1＜X ＜x2} = P{ x1≤X ＜x2} = F(x2) －F(x1) =

x2
x1
f ( x )dx
连续型随机变量取值落在某一区间 的概率与区间的开闭无关
(2) 若 A 为不可能事件，则 P (A) = 0 ；
试求概率 (1) P{ X 10} ; (2)
解 (1) P{ X 10}
10
P{10 X 20}
10
.
f ( x )dx
10
20 10
0.1e 0.1 x dx
10
20 10
e
0.1 x
e
0.1 x
e 1
(2) P{10 X 20 ( t )d t
x1
b
x2
独点 概率
P(a<Xb)= P(a X< b)= P(aX b)= P(a<X<b ) P(A)= 0 A = ； P(B)=1 B = .
1
0
a f ( t )d t ,
几乎不可能事件
几乎必然事件
0 x 3 kx , x f ( x ) 2 , 3 x 4. 2 其它 0,
(1) 确定常数
k;
(2) 求 X 的分布函数 F ( x ); (3) 求
P{1 X 7 / 2}.
解（1） 由
x kxdx 2 dx 1, 0 3 2 解得 k 1 / 6, 于是 X 的概率密度为 x, 0 x3 6 f ( x) 2 x , 3 x 4 . 2 0, 其它
非负性 (2)
f (t )dt

X 取值于(x , x+x]的概率= F 其密度在此区间上的积分 ) F ( ) = 1 - 0 1(；
O
x1
x1
x2
x
规范性 (3) P(x 由定义 概率 公式
1< X x2) =
F(x2) - F(x1)
x1 x2
1
2
((x (4) 若 f (x) 在点 x 处连续， )d f (x )f ; ( t )d t f ( t )d t则 xFf t) t x x x lim lim f ( x) dx = 0 =0 . P ( x f0( t )X d t;x0 x ) 可微性 (5) P( X = x0 ) x 0 x x 0x
P { X a } 0.
离 散 型
要点重申
⑴ 分布函数F (x) 的函数值表示随机变量 X 在右闭无穷 区间 (－∞, x ] 上的取值概率, 即
F ( x ) P{ X x }
⑵ 只要函数 F (x) 是随机变量 X 的分布函数, 那就必有
F () 0 ,
F () 1
下面，我们将向大家介绍另一种类型的随机变量 — 连续型随机变量的描述方法.
第三讲 连续型随机变量及其概率密度
连续随机变量; 密度函数及其性质; 均匀、指数与正态分布
(1) 定义的引出
设离散型随机变量X在［a, b］内取n个值: x1=a, x2, x3, x4,… , xn=b． 概率 小矩形高
1o 2o
f ( x) 0



f ( x)dx 1
f (x)
这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r .v X 的 概率密度的充要条件
面积为1
o
x
密度函数的几何意义
P (a X b)＝ f (t )dt
a
b
密 度 函 数 曲 线 位 于 x 轴 上 方
即 y=f(x)，y=a，y=b，x轴所围成的曲边梯形面积。
P
小矩形宽度
X的概率 直方图：
s1
即小矩形的面积为 Ｘ取对应点的概率
s2 s3
sn
x1=a x2
n
x3
…….
xn=b
X
P{a X b} si ＝折线下面积之和！
i 1
若X为连续型随机变量，由于X在［a, b］内连续 取无穷多个值，折线将变为一条光滑曲线 f ( x ).
P
f ( x)
解之得
6 K 31

6 2 31 x ， 0 x 2 6 X ~ f ( x) x， 2 x 3 31 其它 0，
例2 设连续型随机变量 X 具有概率密度
f ( x ) Ae | x| , x
求 ⑴ 常数A ；⑵ 概率 解
然而 P (A) = 0 时， A 却不尽为不可能事件 .
事件(X=c)并非不可能事件，它是会发生的，也就是 说零概率事件也是有可能发生的。如 X为被测灯泡的寿 命。若灯泡寿命都在1000小时以上，而 P (X=1000)=0， 但事件 (X = 1000) 是一定会 发生的，否则不会出现事件 (X >1000)，所以 不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是 不可能事件。