安徽省安庆市2018学年度第一学期期末教学质量调研监测高三数学试题（文）高三数学试题（文）参考答案及评分标准一、选择题1. B 【解析】44()sin cos cos2f x x x x =-=-，∴22T ππ==.2. A 【解析】∵{}{}|2|02A x x x x =<=<<，∴(0][2)=-∞+∞ ，，.又{}{}|12|13B x x x x =-=-≤≤≤，∴()∩B [][]1023=- ，，.3. D 【解析】由3680a a +=，得公比2q =-.∴616211(1)(63)1321(1)1a q S q S a q -⨯--===+-. 4. C 【解析】1()63632DC AB DO OC AB DO AB OC AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=-+⨯⨯= . 5. C 【解析】由727480(80)8483919092938510x ++++++++++=，得1x =.由84(80)852y ++=，得6y =，所以7x y +=.6. B 【解析】几何体的上半部是半个圆锥，下半部是圆柱，2211111236V πππ=⨯⨯+⨯⨯=+7. D 【解析】根据题设知直线PT 的方程为1()2y x c =+，由直线PT 与圆222x y a +=相切，得1c a =c ⇒=，所以e =8. C【解析】1S =++++= ，由19=，得99k =.9. A 【解析】当1x >时，2()2log 1x f x x =--，易证21x x x >+>.又函数2x y =的图象与2log y x =的图象关于直线y x =对称，所以221log x x x x >+>>，从而()0f x >.故若1a >，有()0f a >；若01a <≤，因为当01x <≤时，2()2log 1x f x x =+-，显然()f x 单调递增.又(1)10f =>，1()202f =<，所以0x 是()f x 唯一的零点，且001x <<.所以当01a <≤时，由0a x >得0()()0f a f x >=.10. D 【解析】由908x a x b ->-≥，可得 98a b x <≤.又满足条件的实数x 的整数值只有1，2，3，所以019a <≤，348b <≤，即09a <≤，2432b <≤.所以 1a =，2，…，9；25b =，26，…，31，32.故有序实数对()a b ，共有9872⨯=对. 二、填空题11. 若1x ≥或1x -≤，则2x ≥1.12. 4 【解析】28V r π=⨯水，3433V r π=⨯球，26V r r π=⋅总，由23248363r r r r πππ⨯+⨯=⋅，得4r =.13. 4(010][1)-+∞ ，， 【解析】将1lg 1x x y +⋅=两边取对数得，lg (1lg )lg 0x x y ++=，∴2lg +lg (lg lg )lg lg 2x y x y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭≤，得 lg lg 4x y +-≤或lg lg 0x y +≥.∴ -4010xy <≤或1xy ≥. 14. 3- 【解析】根据题意可知满足条件的可行域为一个三角形内部（包括边界），故z 的最值应在三角形的顶点处取得，而其中一个顶点为(13)，不符合题意，另一个顶点1(1)y ，应为z 的最小值点，所以11y =-，那么第3个顶点满足4027x y ax by c x y +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，得第3个顶点(31)，.所以30a b c ++=，所以3b c a+=-.15 ① ② 【解析】① 设()f x C=(C 为常数)，由()()0f x f x λλ++=得(1)0C λ+=，∴ 1λ=-或0C =. 当1λ=-时，C 可以取任何实数. ② 若2()f x x =是一个λ-伴随函数，则22()0x x λλ++=， 即22(1)20x x λλλ+++=对任意的实数x 成立，∴2120λλλ+===，无解.③ 由220x x λλ++=得20λλ+=.作函数2x y =和y x =-的图象，易知满足20λλ+=的λ存在.④ 由11()()022f x f x ++=，令0x =得11()(0)22f f =-.若(0)0f =，则0为()f x 的一个零点；若(0)0f ≠，则211()(0)(0)022f f f =-<.因为()f x 的图象是连续的，所以()f x 在区间1(0)2，内至少有一个零点. 三、解答题16. 【解析】（1）根据(2)cos cos a c B b C -=和正弦定理，可得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=2sin cos sin()A B B C ⇒=+.在△ABC中，sin()sin 0B C A +=≠，所以1cos 2B =，故3B π=. ………6分（2）()cos(2)3f x x π=-，()cos 2cos 21236g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由2226k x k ππππ--≤≤，得 51212k x k ππππ-+≤≤.所以()g x 的单调增区间51212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，(Z k ∈). …………12分17. 【解析】（1）由题设可知BF //AE ，CF //DE ，从而BF //平面DAE ，CF //平面DAE .因为BF 和CF 在平面BCF 内，所以平面BCF //平面DAE . 又BC在平面BCF内，所以BC// 平面DAE . …………5分（2）由条件知AE DE =，若AD AE =，则△ADE 为等边三角形，取AE 中点O ，连DO ，则DO ⊥AE .因为EF ⊥AE ，EF ⊥DE ，所以EF ⊥平面ADE ，所以EF ⊥DO ，因此DO ⊥平面ABEF ，从而可以建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 由2AD AE DE BF AB EF AB =======，1FC =，易得(00D ，(120)F -，，、(120)B --，，.由∠CFB =∠60DEA =°可得1222C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，. 所以3022BC ⎛= ⎝⎭，，，(200)BF = ，，，(12BD = . 设平面BDC 和平面BDF 的法向量分别为111()m x y z =，，，222()n x y z = ，，，则1111130220x z x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，，22222020.x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可取(11m =，(02)n =-，所以cos =m n m n m n⋅〈〉，故所求的二面角的余弦值为. …………12分18. 【解析】（1）笨鸟第四次能飞出窗户的概率22218333381P =⨯⨯⨯=. …………4分（2）用ξ表示聪明鸟试飞次数，则1ξ=，2，3.其分布列为ξ123P13211323⨯= 2111323⨯⨯= …………8分（3）用η表示笨鸟试飞次数，则P()P(12)P(13)P(23)ηξηξηξηξ<===+==+==，，，11112118333333327⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. …………12分19. 【解析】（1）因为()ln f x x ax =-，0a ≠，R a ∈，所以当0a >时，()f x 的定义域为(0)+∞，；当0a <时，()f x 的定义域为(0)-∞，.又11()1x f x xx-'=-=，故当0a >时，0x >，()f x 在(01)，上单调递减，在(1)+∞，上单调递增，()f x 有极小值(1)1ln f a =-；当0a <时，0x <，1()0x f x x-'=>，所以()f x 在(0)-∞，上单调递增，无极值.…………6分 （2）解法一：当1a =时，()ln f x x x =-，由（1）知当且仅当1x =时，min ()1f x =.因为1()x x g x e-'=，0x >，所以()g x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减，当且仅当1x =时，max 1()g x e=.当m ≤0时，由于()0xxg x e =>，min ()1f x =，所以()()f x mg x >恒成立；当0m >时，max [()]m mg x e=，要使不等式()()f x mg x >恒成立，只需1m e>，即m e <.综上得所求实数m的取值范围为()e -∞，. (13)分解法二：当1a =时，()ln f x x x =-，所以0x >，()0xxg x e =>， 故()(ln )()()()x f x e x x f x mg x m g x x->⇔<=. 令(ln )()x e x x F x x -=，则2(1)(ln 1)()x x e x x F x x--+'=. 由（1）可知ln 0x x ->，所以当1x >时，()0F x '>，当01x <<时，()0F x '<，所以min ()(1)F x F e ==.故当m e <时，不等式()()f x mg x >恒成立. …………13分 20. 【解析】（1）设点M 的坐标为()x y ，，则由题意知点P 的坐标为(2)x y ，.因为P 在圆O ：224x y +=上，所以2244x y +=.故所求的动点M的轨迹E的方程为2244x y +=（或2214x y +=）. ……4分（2）① 当直线l 垂直于x 轴时，由(0)F 易知1AF BF ==，12CF DF ==，所以2CF DF+≠，不符合题意. …………6分② 当直线l 与x 轴不垂直时，设其方程为(y k x =，代入224x y +=，整理得2222(1)340k x x k +++-=.()222214(1)(34)0k k ∆=-+->设11()A x y ，，22()B x y ，，则21221x x k +=-+，2122341k x x k-=+，所以1AF x ===2BF x ===+.22121212(1)((1)()3k x x k x x x x =++=+++22222346(1)3111k k k k k-=+-+=++. …………9分将(y k x =代入2244x y +=，整理得2222(14)4(31)0k x x k +++-=. ()2222216(14)(31)0k k ∆=-+->.设33()C x y ，，44()D x y ，，则34x x +=，23424(31)14k x x k -=+，所以CF ====442DF +===.从而2342222)2414CF DF k x x k ++=++=+.故222221121422CF DF k k k k ++=⇔=⇔=⇔=±+.…………12分综上，存在两条符合条件的直线l ，其方程为2y x =±. ……13分21. 【解析】（1）当12a =时，2111112(1)2222a a a =-=⨯⨯=，同理可得412a =. …………2分（2）若34a a =，由43332(1)a a a a =-=，得30a =或312a =.① 当30a =时，由3222(1)a a a =-，可得20a =或21a =. 若20a =，则由2112(1)0a a a =-=，得10a =或11a =；若21a =，则由2112(1)1a a a =-=，得2112210a a ++=，1a 不存在.② 当312a =时，由3222(1)a a a =-，得212a =，再由2112(1)a a a =-得112a =. 故当a =或1或12时，34a a =. (7)分（3）因为101a <<且112a ≠，所以211211(1)102(1)222a a a a a +-⎛⎫<=-<⨯= ⎪⎝⎭. 下面证明对一切的2n ≥，N n ∈，102n a <<.ⅰ)2n =时已证明结论的正确性； ⅱ)设102k a <<(2k ≥，N k ∈)，则21(1)102(1)222k k k k k a a a a a ++-⎛⎫<=-<⨯= ⎪⎝⎭. 故对一切的2n ≥，N n ∈，都有102n a <<.所以112(1)212n n n n n a a a a a +⎛⎫=->-= ⎪⎝⎭. (13)分。