2019年安徽省数学高考模拟卷一第一卷 选择题（共60分）每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1． 如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是( )．A ．324 B . 334 C. 63 D . 382．已知集合{}|2,,P x y x x R y R==+∈∈，{}22|4,,Q y x y x R y R =+=∈∈，则P Q ＝A ．{}1,2-B ．()(){}3,1,0,2- C ．φD ．Q3．设等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则下列结论正确的是 A ．()12--=n n na S n nB ．()12-+=n n na S n nC ．()1--=n n na S n nD ．()1-+=n n na S n n4． 已知310,tan cot 43παπαα<<+=-，则tan α的值为 A ．3- B ．13- C ．3-或13- D ． 43-5．二面角l αβ--为60，A ,B 是棱l 上的两点，AC ,BD 分别在半平面,αβ内，,,AC l BD l ⊥⊥且,2AB AC a BD a ===，则CD 的长为 A ．2aB ．5aC ．aD ．3a6．如果随机变量ξ～N （μ，σ2），且E ξ=3，D ξ=1，则P （－1＜ξ≤1）等于A.2Φ（1）－1B.Φ（4）－Φ（2）C.Φ（2）－Φ（4）D.Φ（－4）－Φ（－2）7．已知,x y 满足约束条件，03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是俯视图主视图 左视图第1题图A ．25 B ．21- C ．2425D ．18. 某电视台连续播放6个广告，三个不同的商业广告，两个不同的奥运宣传广告，一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且奥运宣传广告与公益广告不能连续播放，两个奥运宣传广告也不能连续播放，则不同的播放方式有A ．48种B ．98种C ．108种D ．120种9．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据： 人体的脂肪含量百分比和年龄 年龄23 27394145495053565860脂肪9．5 17．8 21．2 25．9 27．5 26．3 28．2 29．6 31．4 33．5 35． 2 通过计算得到回归方程为0.5770.448y x =-，利用这个方程，我们得到年龄37岁时体内脂肪含量为20.90%，那么数据20.90%的意义是： A 某人年龄37岁，他体内脂肪含量为20.90%；B 某人年龄37岁，他体内脂肪含量为20.90%的概率最大；C 某人年龄37岁，他体内脂肪含量的期望值为20.90%；D 20.90%是对年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量所作出的估计；10． 设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线sin 0x A ay c ⋅++=与sin sin 0bx y B C -⋅+=的位置关系是( )．A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直11．若128,,,k k k 的方差为3，则1282(3),2(3),,2(3)k k k ---的标准差为 ( )A ．12B ．23C ．16D ．412．经过椭圆22143x y +=的右焦点任作弦AB ，过A 作椭圆右准线的垂线AM ，垂足为M ，则直线BM 必经过A ．()2,0B ．5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()3,0D ．7,02⎛⎫⎪⎝⎭第二卷 非选择题（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中的横线上13．若框图所给的程序运行的结果为S=132，那么判断框中 应填入的关于k 的判断条件是 .14． 已知函数()1()301x f x a a a +=->≠且反函数的图象恒过定点A ，则点A 在直线否结束开始k =12 , s =1输出ss =s ×k k =k -1是10mx ny ++=上，若0,0m n >>则12m n+的最小值为 ． 15．已知体积为3的正三棱锥V ABC -的外接球的球心为O ，满足0OA OB OC ++=,则三棱锥外接球的体积为 ． 16．以下四个关于圆锥曲线的命题中①过圆内一点（非圆心）作圆的动弦AB ，则AB 中点的轨迹为椭圆；②设A 、B 为两个定点，若||||2PA PB -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支； ③方程2410x x -+=的两个根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④无论方程22152x y k k +=+-表示的是椭圆还是双曲线，它们都有相同的焦点。

其中真命题的序号为 . （写出所有真命题的序号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知)()().0)(1),(sin(),sin ,cos 2(R x b a x f x b x a ∈⋅=<<--+==定义ϕπϕϕ，且)4()(x f x f -=π对任意实数x 恒成立.（Ⅰ）求ϕ的值； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间.18．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥ABCD S -中，SAD ∆是边长为a 的正三角形，平面⊥SAD 平面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，060=∠DAB ，P 为AD 中点，Q 为SB 中点．（Ⅰ）求证：//PQ 平面SCD ； （Ⅱ）求二面角B PC Q --的大小.19．（本小题满分12分）已知A ,B 是抛物线()220x py p =>上的两个动点，O 为坐标原点，ABCD PQS非零向量满足OA OB OA OB +=-． （Ⅰ）求证：直线AB 经过一定点；（Ⅱ）当AB 的中点到直线20y x -=的距离的最小值为255时，求p 的值． 20．（本小题满分12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表：明文由表中每一排取一个字符组成，且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同的次序排成一组成.第一排明文字符 A B C D密码字符 11 12 13 14 第二排明文字符 E F G H密码字符 21 22 23 24 第三排明文字符 M N P Q密码字符 1 2 3 4设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数. （Ⅰ）求P （ξ=2）（Ⅱ）求随机变量ξ的分布列和它的数学期望.21．（本小题满分13分）已知 ()()ln f x ax b x =+-，其中0,0a b >> （Ⅰ）求使)(x f 在[)0,+∞上是减函数的充要条件； （Ⅱ）求)(x f 在[)0,+∞上的最大值；（Ⅲ）解不等式11ln 1ln 21x x x x ⎛⎫+---≤- ⎪ ⎪⎝⎭．22. （本小题满分13分）已知点列)0,(n n x A 满足：1110-=⋅+a A A A A n n （其中1,1,1,10>=-=∈a x x N n ）。

（Ⅰ）若)(1n n x f x =+，（*∈N n ），求)(x f 的表达式；（Ⅱ）点B )0,(a ，记n n BA a =（*∈N n ），且有n n a a <+1成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）设⑵中的数列｛n a ｝的前n 项和为n S ，试证：aa S n --<21。

参考答案一、BDCBA ，BDCDC ，BB二、13．10k ≤ 14．8； 15．163π； 16． ③④ 三、17、解：（Ⅰ）])sin[()sin(cos 2sin )sin(cos 2)(x x x x x x x f -+-+=-+=ϕϕϕϕ ).2sin(sin )(cos cos )sin(ϕϕϕ+=+++=x x x x x x ……………2分 由题意知)2cos(])4(2sin[)2sin(ϕϕπϕ-=+-=+x x x 对任意实数x 恒成立，得0,0)4sin(2cos sin <<-=-=-ϕππϕϕϕ而，.43,4πϕππϕ-=-=-∴即………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin()(π-=x x f由)(2243222Z k k x k ∈+≤-≤+-πππππ，解得).(858Z k k x k ∈+≤≤+ππππ所以，)(x f y =的单调增区间为).(]85,8[Z k k k ∈++ππππ……………………12分18、解：（Ⅰ）证明取SC 的中点R ，连QR, DR.。

由题意知：PD ∥BC 且PD=12BC; QR ∥BC 且QP=12BC, ∴QR ∥PD 且QR=PD 。

∴PQ ∥PR,又PQ ⊄面SCD,∴PQ ∥面SCD. …………6分（Ⅱ）法一：,SP AD SCD ABCD ⊥⊥面面 SP ABCD ∴⊥面PB H QH QH ABCDQH SP∴⊥取的中点，连，得面,,113322243790,,22HG PC G QG SP a aPBC PBC PB a BC a PC a⊥∠=⋅=∠===∴=作于连由三垂线定理知：QGH 即为所求而QH ＝在三角形中，ABCD PQS33sin 47272a HG PH CBP a a a∴=⋅∠=⨯=374tan 2327a QH QGH HGa∴∠===B PC Q ∴--二面角的大小为7arctan.2…………12分 （Ⅱ）法二：以P 为坐标原点，PA 为x 轴，PB 为y 轴，PS 为z 轴建立空间直角坐标系，则S （30,0,2a ），B （30,,02a ）,C （3,,02a a -），Q （330,,44a a ）， 面PBC 的法向量为PS =（30,0,2a ）,设(,,)n x y z =为面PQC 的法向量， 由3300344(,3,3)20304ay az n PQ n n PC ax ay ⎧⎧+=⎪⎪⋅=⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨⋅=⎪⎪-+=⎪⎪⎩⎩COS 3222,11113331122a n PS a -<>==-=-⨯B PC Q ∴--二面角的大小为211ar c os.11c …………12分 19、解OA OB OA OB +=- OA OB ∴⊥设A,B 两点的坐标为（11,x y ）、（22,x y ）则2211222,2x py x py ==（Ⅰ）经过A 、B 两点的直线方程为211211()()()().x x y y y y x x --=--由221212,22x x y y p p ==得：22212111()()()().22x x x x y y x x p p--=-- 211211()2x x x x y y x x p+≠∴-=-令0x =得：2111()2x x y y x p +-=- 122x xy p∴=- 12120OA OB x x y y ⊥∴+= 从而221212204x x x x p += 120x x ≠（否则，,OA OB 有一个为零向量） 2124x x P ∴=- 代入（1）得 2y p =AB ∴始终经过()0,2P 这个定点 …………………（6分）（Ⅱ）设AB 中点的坐标为（,x y ），则12122;2x x x y y y +=+=22121212222()x x py py p y y ∴+=+=+又2222212121212()2()8x x x x x x x x p +=+-=++22484x p py ∴+=即 212y x p p=+ AB 的中点到直线20y x -=的距离d 为：25y x d -=22211122()()555x p x x p p x p p pppd +--+-+===因为d 的最小值为2525,,2555p p ∴=∴= ……………（12分） 20、解：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码..8142)2(33===∴ξP …………………………………………………………………4分（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形.若ξ= 3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4. .32194)122(2)3(323132=++==∴C A P ξ若3294)4(,4322232213=+===∴A A A A P ξξ则 （或用)3()2(1=-=-ξξP P 求得）. ………………………………………………8分 ξ∴的分布列为：ξ 234p813219 329 .32101329432193812=⨯+⨯+⨯=∴ξE ……………………………………………12分 21、 （Ⅰ）()1a a b axf x ax b ax b--'=-=++ 0,0,0x a b ≥>>()0f x '∴≤时，0a b -≤，即a b ≤当a b ≤时，0,0,0.0,0a b x ax b a b ax >>≥∴+>--≤即()0f x '≤()f x ∴在[0,)+∞上是减函数的充要条件为b a ≥ ………（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当b a ≥时()f x 为减函数，()f x 的最大值为(0)ln f b =； 当b a <时，()a b axf x ax b--'=+∴当0a b x a -≤<时()0f x '>，当a bx a ->时()0f x '< 即在[0,)a b a -上()f x 是增函数，在[,)a b a -+∞上()f x 是减函数，a bx a-=时()f x 取最大值，最大值为max ()()ln a b a bf x f a a a --==- 即max ln ()()ln ()b b a f x a ba b a a ⎧≥⎪=⎨--<⎪⎩………………（9分） （Ⅲ）在（Ⅰ）中取1a b ==，即()ln(1)f x x x =+- 由（Ⅰ）知()f x 在[0,)+∞上是减函数11ln(1)ln 21x x x x +---≤-，即1()(1)f x f x -≤11x x ∴-≥，解得：1502x -≤<或152x +≥ 故所求不等式的解集为[1515,0)[,)22-++∞ ……………（13分） 22、解：：⑴)0,1(0-A )0,1(1A∴)1)(1(1110-+=⋅++n n n n x x A A A A ，∴1)1)(1(1-=-++a x x n n1)(1++==∴+n n n n x a x x f x ，1)(++=∴x a x x f 即为)(x f 的表达式。