第四章量子力学中的力学量第四章目录§4.1表示力学量算符的性质 (3)(1) 一般运算规则 (3)(2) 算符的对易性 (5)(3) 算符的厄密性（Hermiticity） (7)§4.2 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(1) 厄密算符的本征值和本征函数 (10)(2) 厄密算符的本征值的本征函数性质 (12)§4.3 连续谱本征函数“归一化” (15)（1） 连续谱本征函数“归一化” (15)（2） δ函数 (18)（3） 本征函数的封闭性 (22)§4.4 算符的共同本征函数 (24)(1) 算符“涨落”之间的关系 (24)(2) 算符的共同本征函数组 (27)(3) 角动量的共同本征函数组―球谐函数 (28)(4) 力学量的完全集 (34)§4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守恒量）,恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） .36(1) 力学量的平均值，随时间变化；运动常数 (36)(2) Vivial Theorem维里定理 (37)(3) 能量—时间测不准关系 (38)(4) 恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） (38)第四章 量子力学中的力学量§4.1表示力学量算符的性质(1) 一般运算规则一个力学量如以算符Oˆ表示。

它代表一运算，它作用于一个波函数时，将其变为另一波函数)z ,y ,x ()z ,y ,x (Oˆϕ=ψ。

它代表一个变换，是将空间分布的几率振幅从 )z ,y ,x ()z ,y ,x (Oˆϕ−→−ψ例： /pˆia x e Oˆ-=，于是)x (e )x (Oˆdx daψ=ψ-∑∞=ψ-=0n nnn )x (dxd !n )a ( )a x (-ψ= )x (ϕ=即将体系的几率分布沿x 方向移动距离a .A. 力学量算符至少是线性算符；量子力学方程是线性齐次方程。

由于态叠加原理，所以在量子力学中的算符应是线性算符。

所谓线性算符，即ψ=ψO ˆc )c (Oˆ 22112211ψ+ψ=ψ+ψO ˆc O ˆc )c c (O ˆ例如1： ψ=∂ψ∂H ˆti若1ψ是方程解，2ψ也是方程解，则2211c c ψψ+是体系的可能解。

事实上22112211ψ∂∂+ψ∂∂=ψ+ψ∂∂t i c t i c )c c (ti2211ψ+ψ=H ˆc H ˆc 是线性算符仅当H ˆ有 )c c (H ˆ2211ψ+ψ=； 例如2：对不显含时间的薛定谔方程ψ=ψE Hˆ， 若 11ψ=ψE H ˆ，22ψ=ψE H ˆ，则 2211ψ+ψc c 也是解 )c c (E 2211ψ+ψ 2211ψ+ψ=E c E c2211ψ+ψ=H ˆc H ˆc 是线性算符仅当H ˆ有 )c c (H ˆ2211ψ+ψ= 量子力学不仅要求力学量算符是线性算符，而且方程是线性齐次，方程A Oˆ=ψ就不行。

因 A O ˆ=ψ1，A O ˆ=ψ2。

但 )c c (A O ˆc O ˆc )c c (O ˆ2122112211+=ψ+ψ=ψ+ψ。

而 121≠+c c 。

所以，方程形式只能为0=ψ)Oˆ(F ，且)O ˆ(F 必须是线性算符。

当然，可观察的力学量算符不仅应是线性的，而且应是线性厄密算符。

B. 算符之和：B ˆA ˆOˆ+=表示，对任意波函数进行变换所得的新波函数完全相等，即 ϕ=ψO ˆ，ϕ=ϕ+ϕ=ψ+ψ=ψ+BA B ˆA ˆ)B ˆA ˆ(； C. 算符之积: B ˆA ˆOˆ=表示，对任意波函数ψ，有ϕ=ψO ˆ，则 ϕ=ϕ=ψBA ˆB ˆA ˆ； D. 逆算符：算符Oˆ将任一波函数ϕ−→−ψOˆ, 即ϕ=ψO ˆ。

若有另一算符使ψ=ϕR ˆ，则称R ˆ为O ˆ的逆算符，并表为1O ˆR ˆ-=，显然，1O ˆO ˆO ˆO ˆ11==--；E. 算符的函数：设：)x (F 在x=0处，有各级导数∑=nn x !n )(F )x (F 0，则定义算符的函数∑=nn A ˆ!n )(F )A ˆ(F 0。

例如: x e 它有各级导数10=)n (x )e (，∑=nx x !n e 1。

于是 ∑=nAˆA ˆ!n e1。

如果函数不能以幂级数表示，则还有算符函数的自然展开。

我们将在后面给出。

（2）算符的对易性一般而言，两算符的乘积和次序有关，不能彼此对易。

若 /ˆi y e Aˆ2π-=,/L ˆi z e Bˆ2π-=，则 A ˆBˆB ˆAˆ≠。

我们熟悉 ψ'-=ψx i pˆx x ，ψ'-ψ-=ψx i i x p ˆx 。

所以 ψ=ψ-ψ i x p ˆpˆx x x 由于ψ是任意波函数。

所以算符 i x p ˆpˆx x x =-。

引入对易子：[]B ˆ,Aˆ为算符B ˆA ˆ和的对易子，[]A ˆB ˆB ˆA ˆB ˆ,A ˆ-=。

由于算符的不可对易性，导致其对易子并不定为0。

对易子有如下性质]A ˆ,B ˆ[]B ˆ,Aˆ[-= C ˆ]B ˆ,A ˆ[]C ˆ,A ˆ[B ˆ]C ˆB ˆ,Aˆ[+= B ˆ]C ˆA ˆ[]C ˆB ˆ[A ˆ]C ˆB ˆAˆ[⨯+⨯=⨯， 并有 ∑-=--=101n S s n s n B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,Aˆ[， 证： 1n = 成立设： 1n -成立，即∑-='-'--'-=2111n S s n s n B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,Aˆ[，而 11--+=n n nB ˆ]B ˆ,Aˆ[]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,Aˆ[ 1211--='-'--'+=∑n n S s n s B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆBˆ1n 2n 0S 1s 1n 1s B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,A ˆ[Bˆ--='-'--+'+=∑ 1111--=--+=∑n n S s n s B ˆ]B ˆ,A ˆ[B ˆ]B ˆ,A ˆ[Bˆ ∑-=--=11n S s n s B ˆ]B ˆ,A ˆ[Bˆ 例： 求 ]p ˆ,x [n x∑-=--=11n S s n x x s x p ˆ]p ˆ,x [pˆ ∑-=-=11n S n x p ˆi1-=n x p ˆn i 。

由于算符之间存在不对易的情况，因此在算符的运算时，要特别小心，不要与常规运算混淆。

例：B ˆ,Aˆ 都和 ]B ˆ,A ˆ[ 对易，可证明 ]B ˆ,A ˆ[B ˆAˆBˆAˆee.e 21++=。

所以， pˆx p ˆx x xee .e21++= 。

这种差异，是因为A ˆB ˆB ˆAˆ≠。

而仅当A ˆB ˆB ˆA ˆ=时，B A B A e e .e += 才成立。

下面是一些有用的对易关系k ijk j i x i ]x ,L ˆ[ε= k ijk j i p ˆi ]p ˆ,L ˆ[ε= k ijk j i L ˆi ]L ˆ,L ˆ[ε=其中 i,j,k 可取1，2，3，ijk ε称为Levi-Civita 符号。

取值ijk)(δ-1（ijk δ为从123→ijk 的对换数。

如 1132=δ，1)1(1132-=-=ε。

显然，当ijk 中有两个相同，则ijk ε=0 ）。

用上述关系可证：r i L ˆr r Lˆ 2=⨯+⨯p ˆi L ˆp ˆp ˆLˆ 2=⨯+⨯ 这表明，L ˆr r Lˆ⨯-≠⨯，L ˆp ˆp ˆL ˆ⨯-≠⨯。

但r p ˆp ˆr ⨯-=⨯，所以， p ˆr )r p ˆp ˆr (L ˆ⨯=⨯-⨯=21 应该强调指出：对易关系是与坐标选择无关。

因此，求对易关系，可找计算起来最简单的坐标系来做。

其结果，当然对任何坐标系都成立。

例： ]r ,L ˆ[z]r xy y x(i [∂∂-∂∂-= ryx r xy (i 2222--= =0 。

而 ]r ,L ˆ[z]r ,i [ϕ∂∂-= =0 。

另外，对易关系与表象选择无关。

如 ]p ˆ,x [n x ]p ,p i [n x x ∂∂= 1-=n x p ˆn i （3）算符的厄密性（Hermiticity ）A. 算符复共轭：若对波函数（任意）有ψ=ϕAˆ, **B ˆψ=ϕ 则称Bˆ为A ˆ的复共轭算符，以*A ˆ表示。

例 )x (dxdi )x (pˆ)x (x ψ-=ψ=ϕ , *x **)x (p ˆdx d i ))x (dx d i ()x (ψ-=ψ=ψ-=ϕ , 所以，x *x p p -=。

事实上，算符的复共轭就是将算符所有复数量取复共轭。

显然，***B ˆA ˆ)B ˆAˆ(=， A ˆ)A ˆ(**=。

B. 算符的转置1. 标积定义：若体系有两个波函数，其标积为⎰ϕψ=ϕψr d ),(*。

显然，02>ψ=ψψ⎰r d ),(对于标积，显然),(),(),(***ψϕψϕϕψ==),(),(),(22112211ϕψλϕψλϕλϕλψ+=+),(),(),(2*21*12211ϕψλϕψλϕψλψλ+=+。

所以对ϕ，标积是性运算；而对ψ， 标积是反线性运算。

当标积为零，0r d ),(*==⎰ϕψϕψ 则称这两波函数正交。

2．转置定义：算符B 称为算符Aˆ的转置算符，即 ⎰⎰=r d B ˆr d Aˆ**ψϕϕψ，或 )B ˆ,()A ˆ,(**ψϕϕψ=。

通常以算符A~ˆ表示算符A ˆ的转置算符。

即 ⎰⎰ψϕ=ϕψr d A~ˆr d A ˆ**，或 )A ~ˆ,()A ˆ,(**ψϕ=ϕψ 例：⎰⎰⎰ψ∂∂-ϕ=ψ∂∂ϕ-ϕψ=ϕ∂∂ψ+∞∞-r d x (r d x r d x ****，所以， xx ~∂∂-=∂∂，显然，x x p ˆp~ˆ-=。

可以证明 A ~ˆB ~ˆB ˆA ˆ~=, A ˆA~~ˆ= C. 算符的厄密共轭定义：算符的厄密共轭是该算符取复共轭，再转置，（以+Aˆ表示），即 *A~ˆA ˆ=+， 也就是，),A ˆ()A ˆ,()Aˆ,(***ϕψ=ψϕ=ϕψ+；由明显的标积形式 ⎰⎰⎰==+r d )A ˆ(r d A ˆr d Aˆ****ϕψψϕϕψ 例： x x()x (*∂∂-=∂∂-=∂∂+可证：A ˆ)A ˆ(=++； +++=A ˆB ˆ)B ˆA ˆ( 而 x x *x x p ˆp ~ˆp ~ˆpˆ=-==+，即x p ˆ的厄密共轭等于它自己。

这是一类特殊的算符。

（x xˆ=+，ii L ˆL ˆ=+） D. 厄密算符: 若算符的厄密共轭就是它自身，则称该算符为厄密算符，即,若AˆAˆ=+，则称A ˆ为厄密算符，也就是 ),A ˆ(),A ˆ()Aˆ,(ϕψ=ϕψ=ϕψ+。