量子力学习题（三年级用）北京大学物理学院二O O三年第一章 绪论1、计算下列情况的Broglie de -波长，指出那种情况要用量子力学处理： （1）能量为eV .0250的慢中子()克2410671-⋅=μ.n；被铀吸收； （2）能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-⋅=μ.a；（3）飞行速度为100米/秒，质量为40克的子弹。

2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？3、利用Broglie de -关系，及园形轨道为各波长的整数倍，给出氢原子能量可能值。

第二章 波函数与波动力学1、设()()为常数a Ae x x a 2221-=ϕ（1）求归一化常数 （2）.?p ?,x x ==2、求ikr ikr e re r -=ϕ=ϕ1121和的几率流密度。

3、若(),Be e A kx kx -+=ϕ求其几率流密度，你从结果中能得到什么样的结论？（其中k 为实数）4、一维运动的粒子处于()⎩⎨⎧<>=ϕλ-000x x Axe x x的状态，其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。

5、证明：从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的，即求证0=υ⨯∇其中ρ=υ/j6、一维自由运动粒子，在0=t时，波函数为()()x ,x δ=ϕ0求：?)t ,x (=ϕ2第三章 一维定态问题1、粒子处于位场()000000〉⎩⎨⎧≥〈=V x V x V中，求：E ＞0V 时的透射系数和反射系数（粒子由右向左运动）2、一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=0000x a x x V )x ( 中运动。

（1）求粒子的能级和对应的波函数； （2）若粒子处于)x (n ϕ态，证明：,/a x2=().n a x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=-222261123、若在x 轴的有限区域，有一位势，在区域外的波函数为如DS A S B D S A S C 22211211+=+=这即“出射”波和“入射”波之间的关系，证明：01122211211222221212211=+=+=+**S S S S S S S S这表明S 是么正矩阵4、试求在半壁无限高位垒中粒子的束缚态能级和波函数()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<∞=ax V a x x V X 0000 5、求粒子在下列位场中运动的能级()⎪⎩⎪⎨⎧>μω≤∞=021022x x x V X6、粒子以动能E 入射，受到双δ势垒作用()[])a x ()x (V V x -δ+δ=0求反射几率和透射几率，以及发生完全透射的条件。

7、质量为m 的粒子处于一维谐振子势场)(1x V 的基态，02121>=k kx V )x (（1）若弹性系数k 突然变为k 2，即势场变为22kx V )X (=随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场2V 基态几率；（2）势场1V 突然变成2V 后，不进行测量，经过一段时间τ后，势场又恢复成1V ，问τ取什么值时，粒子仍恢复到原来1V 场的基态。

8、设一维谐振子处于基态，求它的22x p ,x ∆∆，并验证测不准关系。

第四章 量子力学中的力学量1、 若())z ,y ,x (z y x V p p p H +++μ=22221 证明：,x V i ]P ,H [x ∂∂=,p i ]x ,H [xμ-=2、设[]q )q (f ,i p ,q 是 =的可微函数，证明（1）[],ihpf )q (f p ,q 22=（2）[];f p i)q (f p ,p '=223、证明0≡++]]B ˆ,A ˆ[,C ˆ[]]A ˆ,C ˆ[,B ˆ[]]C ˆ,B ˆ[,Aˆ[ 4、如果，B Aˆ,ˆ是厄密算符 （1）证明()[]B ˆ,A ˆi ,B ˆA ˆn+是厄密算符； （2）求出B ˆAˆ是厄密算符的条件。

5、证明：[][][][]][[] ++++=-A ˆ,L ˆ,L ˆ,L ˆ!,A ˆ,L ˆ,L ˆ!A ˆ,LˆA e A ˆe L ˆL 31216、如果B ,A 与它们的对易子[]B ˆ,Aˆ都对易，证明 []B ˆ,A ˆB AˆBˆAe e e 21++=⋅（提示，考虑(),e e e )(f B ˆA ˆB ˆA ˆ+λ-λλ⋅⋅=λ证明[]f B ,A d dfλ=λ然后积分）7、设λ是一小量，算符1-A ˆAˆ和存在，求证+λ+λ+λ+=λ---------1112121111A ˆB ˆA ˆB ˆA ˆA ˆA ˆB ˆA ˆA ˆ)B ˆAˆ( 8、如ni u 是能量n E 的本征函数（为简并指标i ），证明()⎰=+*0dx u x p xp u nj x x ni从而证明：⎰δ=τij nj x ni d xu p u i 29、一维谐振子处在基态()22122/x a /ea x -π=ϕ求： （1）势能的平均值;X m A2221ω=（2）动能的平均值;m /P Tx 22=（3）动量的几率分布函数其中ω=m a10、若证明,iL L L y x ±=±(1)±±±=L ˆ]L ˆ,L ˆ[z 022==-+]L ˆ,L ˆ[]L ˆ,L ˆ[ (2)11++=lm lm Y C Y L ˆ12--=lm lm Y C Y L ˆ(3)()--+++=-L ˆL ˆL ˆL ˆL ˆL ˆy x 212211、设粒子处于),(Y lm ϕθ状态，利用上题结果求22y x l ,l ∆∆12、利用力学量的平均值随时间的变化，求证一维自由运动的2X ∆随时间的变化为：()()()()()()2220000221212t P p x X p XP X X x t x X X t∆μ+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+μ+∆=∆ （注：自由粒子2x x P ,P 与时间无关）。

第五章 变量可分离型的波动方程1、求三维各向异性的谐振子的波函数和能级。

2、对于球方位势(){000><=r V a r rV试给出有0=l n 个的束缚态条件。

3、设氢原子处于状态()()()()()ϕθ-ϕθ=ϕθϕ-,Y r R ,Y r R ,,r 112110212321求氢原子能量，角动量平方和角动量分量的可能值，以及这些可能值出现的几率和这些力学量的平均量。

4、证明[]r r r ,∂∂+=∇1212 []∇=∇r ,221 5、设氢原子处于基态，求电子处于经典力学不允许区域()0〈=-T V E 的几率。

6、设()022>+=B ,A ,r /A Br r V其中，求粒子的能量本征值。

7、设粒子在半径为a ，高为h 的园筒中运动，在筒内位能为0，筒壁和筒外位能为无穷大，求粒子的能量本征值和本征函数。

8、碱金属原子和类碱金属原子的最外层电子在原子实电场中运动，原子实电场近似地可用下面的电势表示：()2rA r e Z r +'=φ其中，e Z '表示原子实的电荷，0>A，证明，电子在原子实电场中的能量为()222412l nl n z e E δ+'μ-=而l δ为l 的函数，讨论l δ何时较小，求出l δ小时，nl E 公式，并讨论能级的简并度。

9、粒子作一维运动，其哈密顿量()x x V mp H +=22的能级为)(n E 0，试用Hellmann Feynmen -定理，求mP H H xλ+=0的能级n E 。

10、设有两个一维势阱()()x V x V 21≤若粒子在两势阱中都存在束缚能级，分别为() 2121,n E ,E nn =（1）证明n n E E 21≤（提示：令()()211V V x ,Vλ+λ-=λ（2）若粒子的势场⎪⎩⎪⎨⎧=<>bx KX bx Kb )X (V 222121中运动，试估计其束缚能总数的上、下限11、证明在规范变换下ϕ*ϕ=ρ()ϕ*ϕμ-ϕϕ-ϕ*ϕμ=* A ˆcq P ˆP ˆj 21 ⎪⎭⎫⎝⎛-=υμA ˆc q P ˆˆ不变。

12、计算氢原子中P D 23→的三条塞曼线的波长。

13．带电粒子在外磁场()B ,,B 00=中运动，如选⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02121,xB ,yB A ˆ或),xB ,(A 00= 试求其本征函数和本征值，并对结果进行讨论。

14、设带电粒子在相互垂直的均匀电场E 及均匀磁场B 中运动，求其能谱和波函数（取磁场方向为Z 轴方向，电场方向为X 轴方向）。

第六章 量子力学的矩阵形式及表象理论1、列出下列波函数在动量表象中的表示（1）一维谐振子基态：()t ix a ea t ,x ω--π=ψ222122（2）氢原子基态：()t E i a r nea t ,r 2031--π=ψ2、求一维无限深位阱（0≤x ≤a ）中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。

3、求在动量表象中角动量x Lˆ的矩阵表示。

4、在（z l ,l2）表象中，求1=l 的空间中的x Lˆ的可能值及相应几率。

5、设)r (V p H +μ=22，试用纯矩阵的方法，证明下列求和规则()∑μ=-nnmm n x E E 222（提示：求[][][]X ,X ,H ,X ,H 然后求矩阵元[][]>m X ,X ,H m ）6、若矩阵A ，B ，C 满足iA CB BC ,I C B A 2222=-===（1）证明：0=+=+CA AC BA AB；（2）在A 表象中，求B 和C 矩阵表示。

7、设),x (V p H x+=μ22分别写出x 表象和x P 表象中x p ,x 及H 的矩阵表示。

8、在正交基矢21ψψ,和3ψ展开的态空间中，某力学量⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=010100002a A 求在态321212121ψ+ψ+ψ=ψ中测量A 的可能值，几率和平均值。

第七章 自 旋1、设λ为常数，证明λσ+λ=λσsin i cos ez i z。

2、若(),i y x σ±σ=σ±21证明02=σ±3、在z σ表象中，求n⋅σ的本征态，()θϕθϕθcos ,sin sin ,con sin n 是),(ϕθ方向的单位矢。

4、证明恒等式：()()()()BA iB A B A ⨯⋅σ+⋅=⋅σ⋅σ其中B ,A 都与σ对易。

5、已知原子c 12的电子填布为22020221j )p ()s ()s (，试给出（1）简并度；（2）给出jj 耦合的组态形式； （3）给出LS 耦合的组态形式；6、电子的磁矩算符S e l e 002μ-μ-=μ，电子处于z j ,j ,l 22的本征态>j j m l 中，求磁矩μ。