B ˆv(ab1) b1v(ab1) B ˆv(ab2)b2v(ab2)
v(abi)a1 (i)u(a1)a(2 i)u(a2)
b11b b12 0 b21 b22b
可求得 Bˆ 的本征值。
若 b1 b2 ，则 Aˆ , Bˆ
函数
v (bi) a
一起就唯一地决定
Aˆ , Bˆ 的共同本征态没有一个是简并的。 力学量完全集：设力学量 Aˆ,Bˆ,Cˆ 彼此对
称为缔合勒让德函数（Associated Legendre function）。
当 l, m 给定，也就是 Lˆ2 , Lz 的本征值给
定，那就唯一地确定了本征函数 Ylm(,)。
其性质： 1. 正交归一
Y l*m ( , )Y lm ( , )d ll m m
2．封闭性
l 0 m m ll Y lm ( , )Y l*m ( , ) s1 i n ( ) ( )
所以，
x px 2
这即为海森堡（Heisenberg）的测不准 关系的严格证明。
例2 [L ˆx,L ˆy]iL ˆz
但在特殊态 Y00
1时 4
Lx 0 Ly 0 LxLy0
但这仅是某一特殊态。
例3 [Lˆy,Lˆz]iLˆx
在态 Ylm下
这时 Δ Lˆ2z 0 ΔL ˆ2y[l(l1)m2]2/2
一样了。
测量 Aˆ 取值 a时，并不知处于那一态，
可能为
α1u(a1) α2u(a2)
尽管
Bˆ u
(1) a
也是
Aˆ
的本征态。但一般而言
B ˆu ( a 1 ) b 1u 1 ( a 1 ) b 2u 1 ( a 2 ) B ˆu ( a 2 ) b 1u 2 ( a 1 ) b 2u 2 ( a 2 ) B ˆ(uu(a(a12)))(bb1121 bb2221)(uu(a(a12)))
因此， Ylm(1)mYl*m
4. Ylm宇称 ( 1 ) l
rr, 即 ，
5.递推关系
1lm
1m
L ˆ Y lm ( l m )l (m 1 ) Y l m 1
L ˆ Y lm ( l m )l (m 1 ) Y l m 1
(4) 力学量的完全集 量子力学描述与经典描述大不一样，在量
n,a,b,c
c na b u c* na (b r) c (r,0 )d r
Lˆ2, Lˆ z 完全集相应的本征函数为 Ylm(,)
§4.5 力学量平均值随时间的变化，运动常数（守 恒量）恩费斯脱定理（Ehrenfest Theorem） （1）力学量的平均值，随时间变化，运动常数
A((t),A ˆ(t))
[L ˆz,L ˆ]L ˆ [L ˆz,L ˆ]L ˆ
A. 本征值：
设： u lm 是它们的共同本征函数，则
Lˆ 2 的本征值为 l(l 1)2
Lˆ z 的本征值为 m
lm l
这表明，角动量的本征值是量子化的。它与 能量量子化不同在于它并不需要粒子是束缚的。 自由粒子的角动量是量子化的。
B. 本征函数
易；它们的共同本征函数 uabc 是不简并的，
也就是说，本征值a,b,c…仅对应一个独立的本 征函数，则称这一组力学量为力学量完全集 。
所以，以后要描述一个体系所处的态时，我 们首先集中注意力去寻找一组独立的完全集，以
给出特解，然后得通解。
有了力学量完全集，则可得 unabc
(r,t) cna b unca b e icE nt/
它随时间演化为
ddAtddt*(t),A ˆ(t)dr
* t ( t)A ˆ ( t) d r * ( t) A ˆ t ( t) d r * ( t) A ˆ ( tt)d r
* ( t ) A ˆ t ( t ) d r i 1 * ( t ) A ˆ H ˆ ( t ) d r i 1 H ˆ ( t ) * ( t ) A ˆ ( t ) d r
第十四讲
算符的共同本征函数 (1) Schwartz不等式
如果， 1 , 2 是任意两个平方可积的波函
数，则
1, 1 2, 2 1, 22
(2) 算符“涨落”之间的关系－测不准关 系：
如令
1(A ˆA)
2(B ˆB)
i[Aˆ ,Bˆ ] A B
2
例1 Aˆ x ， Bˆ pˆx
[A ˆ,B ˆ][x,p ˆx]i
LyLz0
(3) 算符的共同本征函数组 定理1. 如果两个力学量相应的算符有一组
正交，归一，完备的共同本征函数组，则算符
Aˆ ，Bˆ 必对易 ，[Aˆ,Bˆ]0 。
定理2：如果两力学量所相应算符对易，则 它们有共同的正交，归一和完备的本征函数组。
(4) 角动量的共同本征函数组―球谐函数
因 [Lˆ2,Lˆz]0，它们有共同本征函数组。
子力学中，是确定体系所处的状态。如对体系 测量力学量的可能值及相应几率。如能充分确定 状态，则认为是完全描述了。但是，如何才能将 状态描述完全确定呢？
设：Aˆ , Bˆ 是力学量所对应的算符，并且对易
如 ua (x) 是 Aˆ 的本征函数。
⋆ Aˆ 的本征函数不简并，则
Bˆua bua
⋆ 当 Aˆ 的本征值是两重简并。那问题就不
dA dt
Aˆt [Aˆi,Hˆ ]
若 Aˆ 不显含t，则
dA dt
[Aˆ , Hˆ ] i
当 [Aˆ,Hˆ ]0 ，则 Aˆ （对体系任何态）不随t变。
而取 A s 的几率 c ns 2 也不随 t 变。
已求得 Lˆ2,Lz 的共同本征函数组-球谐函数
Y l m (1)m(24 l 1) ((ll m m ))P !!lm (c o )eism
P lm (c ) o ( 1 ) s l m 2 1 ll!(2 4 l 1 )( (l l m m ) )s ! !1 m i n (d c d o )l m s s2 i l n
3． Ylm(1)mYl*m
P 所lm 以(，c o ) s(1)m((ll m m ))P !!lm (c o ) sm0 Y l m ( 1 ) m(2 4 l 1 ) ( (ll m m ) )P ! !l1) 4
((ll m m))!!Plm(co )esim