=
为y= 的值域，，（公式法）
例：某路口红绿灯交替显示30秒，一司机驾车经过该路口，X表示 该司机的等待时间，求X的分布 解：不妨设前30秒为红灯，后30秒为绿灯，切该司机的到达时、刻 为y~U[0,60],由F(x)=P(Xx) (1)当x<0时，F(x)=0 (2)当x=0时，F(x)=P(X=0)=P= (3)当x30时，F(x)=1 (4)当0<x<30时，F(x)=P=P+P === 3、正太分布 定义：若r .v .X密度函数为f(x)=,,则称r .v .X服从参数为和的正态分 布，记作：X~N(,) [注]：1、密度曲线 2、当=0，=1时，N(0,1)称为标准正态分布 设X~N() 考虑F(x)=P(X)=dt 令 得dz= 定理：若r .v .X ~N(),则F(x)= 推论：若r .v . X ~N(),则~N(0,1) 例：设r .v .X ~N(),求P 解：P=P==
P 1—P P 则X服从0—1分布 2.二项分布 例：在n重贝努里试验中，事件A在每次试验中发生的概率为 P（0<p<1）,X为事件A发生的次数，则X的分布律为：P(X=K)= K=1.2…..n [分析]：设：事件A在第i次试验中发生 i=1,2，…..n {X=K}= 所以 [注]：1.如果r .v .X 的分布列为 k=0.1……n 则称r .v . X服从参数为n .p 的二项分布，记作X~B(n , p) 2.如何判断？ （1）离散型 （2）取值为0.1.2…..n （3）一个试验中出现两个对立的结果 （4）独立性 （5）等可能性 例、求每10个人中至少有2个人生日在一季度的概率。 解：设每10个人中生日在一季度的人数为X～B(10, ) 则所求概率为P(X2) = 1- P(X<2) = 1- P(X=0)-P(X=1) = 13.当n=1时，X～B（1，P）即为0-1分布 二项分布与（0-1）分布的关系： 不妨设为第i次试验中事件A发生的次数，i=1,2,3,……，n. 则～B（1，P），，，……，独立，且X=～B（1，P）. 定理：（泊松定理）设r.v.X～ B（n，） 【与n有关】 若n=l，则= 【注】：1.若n充分大，P充分小，只要np较适中，记np=l>0 则 2.若r.v.X的分布列为P(X=k)= ,k=0,1,2,……（l>0),则称 r.v.X服从参数为l X～P(l) 3.泊松分布可以看成二项分布的泊松近似。 4.一般当n20,p0.05时，用泊松近似计算。
第二节 离散型r .v .及其分布
一．基本概念
定义：设X为样本空间的随机变量，若存在一个有限或可列无限集B， 使得P{XB}=1则称X为离散型r . v . 设其所有可列取值为{} K=1.2.3…… n…则=(X=) K=1.2.3…..n…则称为X的概率分布列 [注]：1.概率分布列是描述离散型随机变量的概率分布的方法之一 2.分布列表 X ….. ….. P …… …… 分布矩阵 3.非负性：>0.k=1.2….. 归一性：=1 4.求离散型r . v . 分布列的步骤 Step1：列出r . v . X的所有可能取值 Step2：计算几个取值对应的概率 例：甲乙两队进行比赛，规定谁先赢三局获胜。甲每局获胜概率0.5 X 表示比赛的局数，求X的分布 解：随机变量X的所有可能取值：3.4.5 则P（X=3）=2P(甲胜三局，输0局)=2 P（X=4）=2P(甲前3局赢2局且第4局获胜)=2 P(X=5)=2P(甲前4局赢2局输2局且第5局赢)=2 例：设 X 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 求P(X)=P(X=0)=0.2
第四节 r .v .函数的分布
结论：随机变量X的函数Y=g(X)是一维r .v . 一、离散型 设离散型r .v .X的分布列为，k=1,2,……,n,…… Y=g(X)是一元实值函数，随机变量函数Y=g(X)是一维离散型r .v . 不妨设Y的所有可能取值为，j=1,2,…… 则 例：设 X -1 0 1 2 p 0.1 0.3 0.2 0.4 求：Y=的分布
交通学院
学号1126002026 姓名 吕立正 第二章 随机变量及其分布 §1.随机ห้องสมุดไป่ตู้量与分布函数
课堂笔记
一、随机变量的概念 定义：假设为试验E的样本空间，对任意的都赋予一个实数X（）与之 对应，则实值函数X（）称为随机变量，一般用X，Y，Z或者 注：1、Z（）由唯一确定 2、随机变量X与实数x的区别 3、对实数x，事件{X≤x}有一定的概率，P{X≤x} 二、分布函数 定义：设（, F,P）为概率空间，还为定义在上的随机变量，对任意 xR，一元实值函数F（x）= P{X≤x}，称为r，v，X的概率分布函数， 简称分布函数 注：1、F（x）= P{X≤x}，xR 2、分布函数是指描述随机变量分布的根本方法 3、分布函数的性质 性质1、（单调性）对任意的，有F（）≤F（） 注：P（）=F（b）-F（a） P（）= F（b）-F（a）+P（X=a） P（）= F（b）-F（a）+P（X=a）-P（X=b） P（）= F（b）-F（a）-P（X=b） P（）= F（a） P（）=1- F（a） 性质2、（有界性）：F（x） 性质3、 性质4、(右连续性) 对任意xR，有F（x+0）=F（x） 证明：设={X x+ } 则且 所以F(x)=P{X x}=P()== 由F(x)的单调性 F(x)=F(x+0) 例：设r.v.X的分布函数为F(x)=A+Barctanx x R 求待定系数A.B 由F(+)=1 F(-)=0 得到 所以A= B=
4.超几何分布 例、设一个盒子中有N个球，其中有M个是黑球，从中不放回地取n个,X 表示取到的黑球的个数。 则X的分布列为：P(X=k)= , k=0,1,2,……，r,其中r=min{M,n} 则称r.v.X服从超几何分布，记作：X～H(n,M,N). 5.几何分布 例、设事件A在每次试验中发生的概率为p(0<p<1),X表示事件A首次发 生时试验的次数，则X的分布列为： P（X=k）=p(1-p)k-1 , k=1,2,3,…… 则称r.v.X服从参数为p的几何分布，记作X～G（p） 【注】：设r.x.X～G（p） 则P{X>m+n|X>m}= P{X>m+n|X>m}=P{X>n} 则称几何分布具有“无记忆性”。 6.负二项分布 例、设事件A在每次试验中发生的概率为p(0<p<1)，X表示事件 第r次 发生时试验的次数，则X的分布列为： P(X=k)= , k=r,r+1,r+2,…… 则称r.v.X服从负二项分布 【注】：1.几何分布是负二项分布r=1时的特殊情况。 2.设事件A第一次发生时，试验次数为X1，从A第一次发生后算起， 第二个A发生时试验次数为X2。依次类推，从第r-1个A发生后 算起，第r个A发生时试验次数为Xr，则Xi～G（p），i=1,2, ……，r,且X=～负二项分布。
P(X)=P(X=0)+P(X=1)=0.7 F(X)=P(Xx)= = [注]：5、离散型r .v . X的分布函数 F(x)=P(Xx)= (1) F(x)是阶梯函数 (2) 分段区间是左闭右开区间 (3) 分段点为r . v . X的取值 (4) 在分段点的跳跃高度恰为该点概率 二．几种常用分布 1.（0—1）分布 （两点分布） 例 设事件A在一试验中发生的概率为p（p>0） 一次试验中事件A发生 的次数为X 则X的分布列为 X 0 1
解：Y的所有可能取值为：0,1,4 Y的分布列为 Y 0 1 4 p 0.3 0.3 0.4
X p Y=g(X) 方法二： g() g()
…… …… …… g()
…… …… ……
若g()=g() 在Y的分布列中只要写一个点g()，而所对应的概率为 例，设r,v,X～U[-2,2],y=,求y的分布 解：P（y=0）=P（）= P（y=1）=P（）= y 0 1 P 二．连续型 设r,v,X的密度函数为,y= 是一元连续实值函数，则人r.v.函数y= 是 一维连续型随机变量 例：r,v,X～N（），求y=ax+b（a0）的分布 解： 若a>0 则=P( )= 由===* =*exp{} =exp{} y=ax+b~N（） 若 则=P（）=1=-exp{ ==-* =-exp{} y=ax+b～N（） 综上所述 y=ax+b～N（） 定理：若X～N（），则y=ax+b一定服从正态分布，其中，y=ax+b～ N（） 定理：设r,v,X的密度函数，y= 是一元连续实值函数，反函数为 X=，则r.v.函数y= 的密度函数为
第三节 连续型
一 概念 定义：设F(x)是分布函数，若存在一非负可积函数f(x)，使得对一切x, 有： ,则称X为连续型r .v .f(x)为r .v .X 的概率密度函数，简称密度函数。 注：1、f(x)0, x(非负性) 2、(归一性) 3、
4、设x为连续型r v,则 5、 6、若r .v .X~,则+ 7、连续型函数是不唯一的。例： 8、连续型r .v.的分布函数一定是连续函数，反之不一定成立。 9、在f(x)的连续点处，有 例： 求：（1）A （2）分布函数F(x) (3)p(x<1) 解：（1），即，得A= (2) （3） = 二 几个常用的分布 1、指数分布 定义：假设r .v .X密度函数，则称r .v .X从参数的指数分布，记作X ~e() 注：1、X ~e()，则 2、指数分布具有无记忆性，即p(x>m+n/x>m)=p(x>n) 例：某设备在t事件段发生故障的次数x(t)服从参数为t的泊松分布， （）0） 求：（1）相邻两次故障之间时间间隔T的分布。 （2）该设备在无故障工作m小时的情况下再无故障工作n小时的 概率。 解：（1） F(t)=P(T =1所以， （2） 2、均匀分布 定义：设r .v .X密度函数为，则称r .v .X服从参数区间的均匀分 布，记作X~U. [注]：1、设X~U，，则 2、若X~U，则F(x)=