Kenneth J. Arrow （1921-) 1972年诺贝尔经 济学奖获得者
Gerard Debreu (1921-) 1983年诺贝尔经 济奖获得者
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Arrow (1953) 《证券价值对于 风险的最优配置的作用》
Arrow 的 文章被认为是 第一篇用数学 模型论证证券 如何分散金融 风险的研究论 文。
关于我国股市的互相关
金融风险与金融数学 29
09/20/2000
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Tobin 的二基金分离定理
• 由于 Markowitz 问题是线 性问题，因而两个有不同 收益的解的线性组合就可 生成整个组合前沿。 • 这两个特殊的组合可以看 成“基金”。这个结果称 为二基金分离定理。它是 Tobin (1958) 首先提出的。
1944 年在巨著 《对策论与经济 行为》中用数学 公理化方法提出 期望效用函数。 这是经济学中首 次严格定义风险。Oskar Morgenstern
(1902-1977)
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John von Neumann (1903-1957)
用期望效用函数来刻划风险
• 所谓期望效用函数是定义在一个随机变 量集合上的函数，它在一个随机变量上 的取值等于它作为数值函数在该随机变 量上取值的数学期望。用它来判断有风 险的利益，那就是比较“钱的函数的数 学期望”。 • 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x, 以概率 (1-p) 获得 y 的机会，那么其期望效用函 数值为 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).
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“华尔街的革命”
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‘在华尔街发生的两次革命已经开创了 在金融界需要研究型的数学家的专长。第 一次革命是对股权基金管理的诀窍引进数 量方法，它开始于 Harry Markowitz 在 1952 年发表的博士论文《证券组合选 择》。第二次金融中的革命开始于 1973 年 Fisher Black 和 Myron Scholes (请 教了Robert Merton)发表对期权定价问 题的解答。Black-Scholes 公式给金融行 业带来了现代鞅和随机分析的方法；这种 方法使投资银行能够对无穷无尽的“衍生 证券”进行生产、定价和套期保值。……’
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Frank Hyneman Knight (18851972)
Arrow-Debreu 的不确定状态
• 1954 年 Arrow 和 Debreu 发表一般 经济均衡的严格数 学公理化证明。 • 他们在处理不确定 性时采用Knight 的 观点。光有状态， 没有概率。
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Pascal － Fermat 问题
• 二人掷骰子赌博，先掷满 5 次双 6 点者 赢。有一次，A 掷满 4 次双 6 点，B 掷 满 3 次双 6 点。由于天色已晚，两人无 意再赌下去，那么该怎样分割赌注？ • 答案：A 得 3/4, B 得 1/4. • 结论：应该用数学期望来定价。
金融风险与金融数学
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概率论的早期历史
1654 年 Pascal 与 Fermat 的五封通信，奠定概率 论的基础。他们当时考 虑一个掷骰子问题，开 始形成数学期望的概念， 并以“输赢的钱的数学 期望”来为赌博“定 价”。 • Blaise Pascal (1623-1662)
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Pierre de Fermat (1601-1665)
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1997 年诺贝尔经济奖获得者
Robert Merton, (1944-)《连续 时间金融学》 Myron Scholes, (1941-) 期权定 价公式
Fisher Black (1938-1995)期权定价公式
1973 年 Black-ScholesMerton期权定价理论问世
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金融风险与金融数学 18
1990 年诺贝尔经济奖获得者
Merton Miller, (1923-2000) Modigliani-Miller 定理 (MMT)
Harry Markowitz, (1927-) 《证券组合 选择理论》
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William Sharpe, (1934-)资本资产 定价模型 （CAPM)
金融风险与金融数学
Maurice Allais (1911-) 1986 年诺贝尔经济 奖获得者。
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Knight 的 《风险、不确定性与利润》(1921)
• Knight 不承认“风险=不确定 性”，提出“风险”是有概率 分布的随机性，而“不确定性” 是不可能有概率分布的随机性。 • Knight 的观点并未被普遍接受。 但是这一观点成为研究方法上 的区别。
什么是风险和什么是金融风险？
• • • • • • 风险是可能发生的危险。 风险＝不确定性。 金融风险就是金融中可能发生的危险。 换句话说，就是可能发生的钱财损失。 金融风险＝金融中的不确定性。 金融风险包括市场风险，信用风险、流 动性风险，营运风险等等。
金融风险与金融数学 1
什么是金融经济学和金融数学？
• 金融经济学与其他经济学科的主要区别 就在于市场环境的不确定性。 • 金融经济学主要研究不确定性市场环境 下的金融商品的定价理论。 • 金融数学就是金融商品定价的数学理论。 • 因此，也可以说，金融经济学以至金融 数学都是研究金融风险的理论。
金融风险与金融数学 2
研究不确定性的数学－概率论
• 直到现在为止，研究不确定性的最主要 的数学学科是概率论 (其他还有：模糊数 学、混沌理论、集值分析、微分包含等)。 • 概率论几乎可以说是起源于研究“金融 风险”的。那是一种简单的“金融风险” 问题：赌博。
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风险－收益图 和 有效前沿
收 益
风险
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风险－收益图 和 有效前沿
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沪深两市的风险收益图
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Markowitz 的基本思想
• 风险在某种意义下是可以度量的。 • 各种风险有可能互相抑制，或者说可能 “对冲”。因此，投资不要“把鸡蛋放 在一个篮子里”，而要“分散化”。 • 在某种“最优投资”的意义下，收益大 意味着要承担的风险也更大。
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Arrow-Pratt 风险厌恶度量
这就归结 为函数 u 的凸 性的比较。它 的程度可用 -u’’/u’ 来 度量。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出。
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期望效用函数的争论
• 期望效用函数似乎是相当 人为、相当主观的概念。 一开始就受到许多批评。 其中最著名的是“ Allais 悖论” (1953)。 • 由此引起许多非期望效用 函数的研究，涉及许多古 怪的数学。但都不很成功。
金融风险与金融数学
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“圣彼德堡悖论”
• 1738 年发表《对机遇 性赌博的分析》提出 解决“圣彼德堡悖论” 的“风险度量新理 论”。指出用“钱的 数学期望”来作为决 策函数不妥。应该用 “钱的函数的数学期 望”。
金融风险与金融数学
Daniel Bernoulli （1700-1782)
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期望效用函数
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为解决这一问题，Black 和 Scholes先 把模型连续动态化。他们假定模型中有 两种证券，一种是债券，它是无风险证 券，其收益率是常数；另一种是股票， 它是风险证券，沿用 Markowitz 的传统， 它也可用证券收益率的期望和方差来刻 划，但是动态化以后，其价格的变化满 足一个随机微分方程，其含义是随时间 变化的随机收益率，其期望值和方差都 与时间间隔成正比。这种随机微分方程 称为几何布朗运动。
金融风险与金融数学
James Tobin, (1918-) 1981 年诺贝尔经济 学奖获得者
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资本资产定价模型 (CAPM)
Sharpe (1964) 和另一些经济学家， 则进一步在一般经济均衡的框架下，假 定所有投资者都以 Markowitz 的准则来 决策，而导出全市场的证券组合是有效 的以及所谓资本资产定价模型 (Capital Asset Pricing Model, CAPM)。这一模 型认为，每种证券的收益率都只与市场 收益率和无风险收益率有关。
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Franco Modigliani, (1918-) 1985 年诺贝 尔经济奖获得者
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无套利假设和 B-S 期权定价理论
• 以无套利假设作为出发点的一大成就也 就是 Black-Scholes 期权定价理论。 • 期权是指以某固定的执行价格在一定的 期限内买入某种股票的权利。期权在它 被执行时，如果股票的市价高于期权规 定的执行价格，那么期权的价格就是市 价与执行价格之差；反之，期权是无用 的，其价格为零。 • 现在要问，期权未到期时的价值。
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互相关的概念
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0.25
0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
1997-12-17 1998-01-28 1998-03-11 1998-04-22 1998-06-03 1998-07-15 1998-08-26 1998-10-07 1998-11-18 1998-12-30 1999-02-10 1999-03-24 1999-05-05 1999-06-16 07/28/1999 09/08/1999 10/20/1999 12/01/1999 01/12/2000 02/23/2000 04/05/2000 05/17/2000 06/28/2000 08/09/2000