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中 国 科 学 技 术 大 学
2005—2006学年第2学期考试试卷

考试科目: 线性代数 得分:
学生所在系: 姓名: 学号:

一、判断题（30分，每小题6分）。判断下列命题是否正确，并简要说明理由。
1. 三维空间向量cb,a,共面的充要条件是
0detccbcaccbbbab
cabaaa
。

2. 设A为n阶实正交方阵，I为n阶单位阵，则IA2为可逆方阵。
3. 设nm阶非零实矩阵A和B满足0BA，则A的行向量线性相关，
并且B的行向量也线性相关。
4. 设
)(RM
n

是n阶实方阵全体按矩阵的加法与数乘运算构成的线性空间，则

满足0trA的n阶实方阵A的全体构成)(RMn的子空间。

5. 设BA,为方阵，且







B
A

是实正定对称方阵，则BA,也是实正定对称方阵。

二、计算题（62分）。
1. （15分）ba,为何值时，下列线性方程组有解？当有解时，求出该方程组的通解。











bxxxxxxxxxaxxxxxxxxxx54321543254321543213345
3622
323
1

2. （15分）设n阶实方阵2112112OOAn，求nAdet和14A。
3. （17分）设V是由所有2阶实方阵构成的实线性空间。在定义内积YXYXtr),(后，
V成为一个欧氏空间。现定义V上的变换XXX:A。（1）证明：A
是一个线
性变换；（2）求A在基1000,0100,0010,0001下的表示矩阵；（3）求A的
所有特征值与特征向量；（4）求V的一组标准正交基，使得A在此基下的表示矩阵
为对角阵。

4. （15分）通过正交变换化二次型222)()()(),,(xzzyyxzyxf为标准形；并
判断三维欧氏空间中的曲面
3)()()(

222
xzzyyx
是哪一类曲面。

三、证明题（8分）。以下两小题任选一题。
1. 设nmRA，mnRB，I是n阶单位方阵。证明：
（1）)rank(0rankABnBIA。
（2）nBAAB)rank()rank()rank(。
2. 设实对称方阵A满足3AA，证明：A正交相似于对角形









0srI
I

。
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参考答案及评分标准 一、判断题（30分，每小题6分，判断命题是否正确2分，说明理由4分。） 1．正确。cb,a,共面使得0cbazyx有非零解0)()(cbacbazyxzyx 有非零解0zyxccbcaccbbbabcabaaa有非零解0detccbcaccbbbabcabaaa （把cb,a,当作数组向量，扣2分） 2．正确。00420)2(xxxxxxxxxxAAAIA。 3．正确。B有非零列向量0AA的行向量线性相关。 A有非零列向量0BB的行向量线性相关。 4．正确。集合关于加法、数乘封闭。 5．正确。BA正定对称yxyxyx,0，BA不全为零 BABA,0000yyyxxx，；，正定对称。 二、计算题（共62分） 1． （15分）写出方程组的矩阵形式或增广矩阵ba1334536221031123111111 （3分） 对其作初等行变换20000000000362210251101ba （6分） 当2,0ba时，方程组有解。 （3分） 通解36222554325431xxxxxxxx （3分） 2． 令nnAdet，则有212nnn （4分） 由3,221， （2分） 得
11

211nnnnnn
，
（3分）

由*det11AAA，或经初等变换， （3分）

求得









43213642246312341451A
（3分）

3． （17分）（1）A保持向量的加法和数乘。 （3分）
（2）由基的象得A的表示矩阵









211112A
（4分）

（3）所有特征值为2、2、2、0 （3
分）
所有特征向量分别为“2阶非零对称实方阵”和“2阶非零反对称实方阵” （3分）
（没有考虑特征值重数，扣2分；没有考虑特征向量非零，扣2分）

（4）














0010000
0

00
01

21212
1
2
1

，，，
（4分）

（基向量没有标准化，扣2分；基向量没有写成2阶方阵形式，扣1分）
4． （15分）二次型的表示矩阵211121112A （3分）
A
的特征值为3、3、0 （3分）
A
的特征向量，，，111313211612011211 （3分）
令Pzyxwvu，

321

P
，得2233),,(vuzyxf （3分）

曲面为圆柱面 （回答椭圆柱面，扣1分） （3分）
三、证明题（8分）。以下两小题任选一题。
1． （1）
)rank(00rank0rank0rankABnIABBIABBIA









（4分）
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（2）
)rank(

0rank00rankrankrankABnBIABA

BA
（4分）

2． 对称方阵正交相似于对角形








nnnA
1

11
（3分）

A
的特征值0,1,13 （3分）
适当排列

i

，011sIrInnA。 （2分）