第14讲有理式的恒等变形可以数是属统治着整个量的世界，而算数的四则运算则可以看作是数学家的全部装备麦克斯韦知识方法扫描有理式的恒等变形可以分为无条件限制等式和有条件限制等式两大类.无条件等式的证明方法很多，常用的有：直接从左到右或从右到左的变形（常 常是从较复杂的一边向较简单的一边变形），还有比较法、分析法等.条件等式的证明实质上是有根据，有目标的有理式的恒等变形，条件等式证 明的基本方法是对约束条件或待证等式进行适当变形， 运用有理式的对称，轮换 性质，有关非负数的性质及比较法，消元法和换元法等•在证明过程中，不但要 注意已知条件的变换，使之有利于应用，同时也要研究结论的需求， 结论部分复 杂的也要进行比较变换，使之有利于已知条件的沟通.经典例题解析2 2b ea ab e (b e)(b a) (e a)(e b)分析要证A=B ，可先证A-B=O ，这种方法称为求差法。
这个式子具有如下特征：如果取出它的第一项，把其中的字母轮换，即以b 代a ， e 代b ，a 代c ,则可得出第二项；若对第二项的字母实行上述轮换，则可得出第 三项；对第三项的字母实行上述轮换，可得出第一项.具有这种特性的式子叫作 轮换式.利用这种特性，可使轮换式的运算简化.证明因为例1.求证:a 2 be (a b)(a e)左-右a 2 be (a b)(a e)b 2 ca (b e)(b a)e 2 ab (e a)(e b)a 2 be (a b)(a e)a 2 ae ae be(a b)(a e)a(a c) c(a b) (a b)(a e)a. e abac同理b 2 eae 2 ab(b e)(b a) b e b a (e a)(e b) e a b ea eb a e a b a e b e b a e a评注本例若采用通分化简的方法将很繁•像这种把一个分式分解成几个部 分分式和的形式，是分式恒等变形中的常用技巧.例 2 证明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z). 证明用换元法.令y+z-2x=a ，① z+x-2y=b ，② x+y-2z=e ，③则要证的等式变为a 3+b 3+e 3=3abe.注意到因式分解公式： a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(孑+b 2+c 2-ab-bc-ca),将①，②, ③相加有a+b+e=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0，所以 a 3+b 3+c 3-3abc=0,故(y+z-2x) 3+(z+x-2y) 3+(x+y-2z) 3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z). 评注换元是恒等变形的常用技巧.例3.( 1957年武汉市中学生数学竞赛试题)已知x+y+z=xyz ，证明:x(1-y 2)(1-z 2)+y(1-x 2)(1-z 2)+z(1-x 2)(1-y 2)=4xyz .分析 将左边展开，利用条件x+y+z=xyz ，将等式左边化简成右边. 证明 因为x+y+z=xyz ，所以左边=x(1-z 2-y 2-y 2z 2)+y(1-z 2-x 2+x 2z 2)+(1-y 2-x 2+x 2y 2)=(x+y+z)-xz 2-xy 2+xy 2z 2-yz 2+yx 2+yx 2z 2-zy 2-zx 2+zx 2 y 2 =xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)所以 左—右 =a 2 be (a b)(a e)b 2 ea (b e)(b a)e 2 ab (e a)(e b)0.=xyz_xy(xyz_z)_xz(xyz_y)_yz(xyz_x)+xyz(xy+yz+zx) =xyz+xyz+xyz+xyz =4xyz=右边.故结论成立。
例4（ 1994年蓝溪市初中数学竞赛） 已知2 x yz a2y zx ba 2 bcb 2 cac 2 ab2 2 _分析设7jabc k如果这时关于k,x,y,z 的有理式相等，那么结论就可证得。
2解设」a z 2 1-则a,b,c 就可求出，代入所要证的等式,分别代入a k(x 2 a 2 be x a 2 bex2y zx b yz),b b 2 ca y k 2(x 22 2k(y zx),c k(z xy),yz)2 k 2(y 2 zx)(z 2 xy) k 2(x 4 y 2z 2 2x 2yz y 2z 2 xy 3 xz 3x 2yz)xk 3(x 3 y 3 z 3 3xyz),同理b 2 cayk 2(y 2 zx)2 k 2(x 2 yz)(z 2 xy)y所以 例5.k 2(x 3 y 3 z 3 3xyz), x ab1 2/ 3 3 3k (x y z 3xyz), z2 2 2a bcb cac ab。
xy z(1993年浙江绍兴市初中数学竞赛试题)已知a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)=O ,求证：cybz az cx bx ay分析与证明 要证 cy―空az _cx成立，只需证(cy-bz)(z-x)=(az-cx)(y-z),y z z x即 cyz-b£-cxy+bzx = azy-cxy-az 1 2+czx , 即只需证 z(cy-bz+bx-ay+ax-cz)=O 成立, a(y-z)+b(z-x)+c(x-y)=O 可知 cy-bz+bx-ay+ax-cz=O ,评注这种“执果索因”的方法称为例6.已知abc=1，求证： a 一ab a 1分析法” b c .分析1这个题目的结论比较复杂，我们可以从条件出发，用代入消元的方 法消去一个字母，将问题转化为一般恒等式的证明。
1 a bc分析 所要证明的式子是一个不等式，左边的式子又较复杂，直接从已知条 件出发证明不是很容易，因而可以考虑用反证法来证明。
证明假设原式不成立，即a+b 2+c 2+孑+ab+cd=1ad-bc=1，二 a 2+b 2+c 2+d 2+ab+cd= ad-bc••• a 2+b 2+c 2+d 2+ab+cd+bc-ad=0,即(a+b)2+(b+c)2+(c+d)2+(d-a)2=0 a+b=b+c=c+d=d-a=O,°. a=-b,b=-c,c=-d,d=a于是 a=-a,即 a=0, • b=c=d=0,这与 ad-bc=1 矛盾。
•••原式成立，即 ai 2+b 2+c 2+d 2+ab+cd ^ 1评注(1)结论是否定形式的问题，可以考虑用反证法来证明。
(2)配方法在恒等变形中是一种常用的方法。
可以由一个等式推出若干个等 式来，还可以得到一些不等关系。
例8. (2008年首届少年数学周(宗沪杯)数学竞赛试题)设a,b,c 均是不等于 0 的实数，且满足 a 2-b 2=bc , b 2-c 2=ca,求证 a 2-c 2=ab ,1bc b 1 ca c 1成立。
同理, z x空x 虬旦，故结论成立。
z x x y bc b c 1丄1 bc b 11 c 1 c bcb 1 b bc bc b 1bc b 1bc b 11 原式左边=1。
证毕。
而此时从已知条件 证明 1 T abc=1,分析2 从上面的证法可以看出：它的证法就是 通分”---设法将几个分式 的分母倍的一样。
这实际是利用分式的基本性质将第一个分式的分子、 分母乘以 bc,第三个分式的分子、分母乘以证明2 左边=2航—ab c a 1二 1bc b 1例7.已知ad-bc=1，求证： b 得到的。
b bc b 1 bbeabc bc b bc1。
证毕。
bc b 1 bc b 12 2 2 2a +b +c +d +ab+cd M证明将已知等式相加得 a 2 c 2 c(a b).① 2依条件a 2b 2bc 得a 2b(b c).即b c②2依条件b 2c 2 ca 得(b c)(b c) ca.将②代入得 a(b c) ac,即 b2 2bc ac ab.故 c(a b) ab.代人式①即有 a c ab 成立.同步训练q, a+b+甘 0,贝U q 3 q 2 q ( ) cab(C ) 1-q 3 (D ) 1-2q 2b ,—c 且 x+y+z 工0.贝U =( )x yx+y+z (D ) xyz 3. 如果---—3—1，则下列说法正确的是()x y z x y z (A ) 8 (B ) 0 (C ) 2 (D ) -25.已知a+b+c=10, a 2+b 2+c 2=38, a 3+b 3+c 3=160，贝U abc 的值是( )8. ________________________________________ 若14(a 2+b 2+c 2)=(a+2b+3c)2，贝U a ： b : c= ___________9. ( 1986年全国初中数学联赛试题) 设a 、b 、c 、d 都是整数，且m=a 2+b 2, n=c 2+d 2,mn 也可以表示成两个整数的平方和，其形式是 _________11 1 10. 已知 a+ b cbca3 26. (1999年全国初中数学联赛试题)已知-(b c)24b c= a(A ) 24 填空题(B) 30(C ) 36 ( D ) 42 (a b)(c a)且 a ^0 则7 .已知:a z 2y xb x 2z yc 2x-.贝U a+b+c = zc a c a b1.已知一a b c b c a (A ) 1(B ) 1- q2 .已知：x a ,yy zz x(A) 1 (B ) 0(C )(A ) x 、y 、z 中至少有一个为1 (C )、x 、y 、z 都不等于14. (1999年重庆市初二数学竞赛试题) (B ) x 、y 、z 都等于1 (D )以上说法都不对已知 a-b=4, ab+S+4=0，贝U a+b=( ) a ^ b 壬 c 则 a 2b 2c 2=选择题、解答题1 1 111. 若a、b、c不全为零，且a+—=1, b 一1,求证：c - 1.be a12. (2005年北京市初中数学竞赛试题)已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0.求证：(1)a3 b3c3 3abc;⑵f bc b c c a c a b)( )9.a b a b b c c a13. 设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc)求证:ac=bd.14. (第20届俄罗斯数学奥林匹克9年级试题)证明恒等式：a? a n a? a3a2(a1 a2)a3(a2 a3)a1 (a n a1) a1(a1 a2)a2(a2 a3)a n(a n a1 )15. 设有多项式f(x)=4x4-4px3+4q/+2q(m+1)x+(m+1)2,求证:如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方.。