线性规划题型及解法
一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题
2x -y _2
例1、设变量x、y满足约束条件x 一y _ _1，则z =2x • 3y的最大值为__________ 。
x y _1
二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题
\ >1,
例2、已知」x-y+1兰0,则x2+y2的最小值是_」“(x-1)2+(y+2『”值域？
2x - y - 2 <0
三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
Zf x _0
例3、在约束条件y_0 下，当3乞s乞5时，目标函数Z=3x・2y的最大值的变化范围是()
|y x _s
y 2x^4
A. [6,15]
B. [7,15]
C. [6,8]
D. [7,8]
四、已知平面区域，逆向考查约束条件。
例4、已知双曲线x2-y2 =4的两条渐近线与直线x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是()
fx-yZ0 「x-yX0 『x-y^0 "x-y 兰0
(A) x y _ 0 (B) x y 乞0 (C) x y 乞0 (D) x y _ 0
0 _x _3 0 _x _3 0 _x _3 0 _x _3
五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
(1 ：：: x ：「v ‘：：4
例5已知变量x，y满足约束条件若目标函数ax y (其中a 0)仅在
[―2 兰x—y 兰2
点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为 __________ 。
六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题
丄x y _ 2 _ 0 _
例6在平面直角坐标系中，不等式组x_y，2_0表示的平面区域的面积是()(A)4、、2 (B)4 [八0
(C) 2.2 (D)2
七、研究线性规划中的整点最优解问题
”5x-11y —22,
例7、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件<2x+3yX9, 则
、2x 兰11.
z =10x 10y 的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
八、比值问题
当目标函数形如z =-—a时，可把z看作是动点P x, y与定点Q b, a连线的斜率，这样目
x —b
标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。
x—y+ 2W 0，V
例8、已知变量x，y满足约束条件x> 1，则-的取值范围是( ).
iX + y —7< 0，x
9 9
(A)【5, 6] ( B) (", 5】U [6 ,+Q (C) (", 3] U [6 ,+Q (D) [3 ,
6]
九、求可行域中整点个数
例9、满足|x| + |y| <2的点(x, y)中整点(横纵坐标都是整数)有( )个。
A、9 B、
10 C、13 D 14
十、求线性目标函数中参数的取值范围
x y _ 5
例10、已知x、y满足以下约束条件《x-y+5W0 ,使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有
x兰3
无数个，则a的值为()A、一 3B 3C—1D 1
十、求约束条件中参数的取值范围
例&已知|2x —y + m|v 3表示的平面区域包含点(0,0 )和(一1,1 ),则m的取值范围是
() A (-3,6 ) B (0,6 ) C、(0,3 ) D (-3,3 )
1解析：如图1,画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18
2解析：如图2,只要画出满足约束条件的可行域，而x2 y2表示可行域内一点到原点的距离的平方。
由图易知A (1, 2)是满足条件的最优解。
x2 y2的最小值是为5。
3解析：画出可行域如图3所示，当3乞s ：：：4时，目标函数z =3x • 2y在B(4 —s,2s-4)处取得最大值,即Z max =3(4 _s)・2(2S _4) =s . 4三[7,8)；当4乞s乞5时,目标函数z=3x，2y 在点E(0, 4)处取得最大值,即Z max =3 0 2 4 =8,故z [7,8],从而选D;
4解析：双曲线x2 -y2=4的两条渐近线方程为y = _x ,与直线x = 3围成一个三角形区域(如图4所示)时有[:爲0
0 Ex 乞3
5解析：如图5作出可行域，由z=ax，y—y = -a^ z其表示为斜率为-a，纵截距为z 的平行直线系，要使目标函数z二ax，y (其中a 0)仅在点(3,1)处取得最大值。
则直线y=-ax，z过A点且在直线x，y=4,x=3 (不含界线)之间。
即
-a ・T= a 1.则a的取值范围为(1,：：)。
| x ■ y - 2 一0
6解析：如图6,作出可行域，易知不等式组x -y • 2 一0表示的平面区域是一个三角形。
容易求三角形的三个顶点坐标为A(0,2) , B(2,0),C(-2,0). 于是三角形的
1 1
面积为：s=-|BC||AO| 4 2=4.从而选E。
2 2
7解析：如图7,作出可行域，由z =10x • 10y= y --x •盒，它表示为斜率为-1，纵截距为z的平行直线系，要使^10x 10y最得最大值。
当直线z=10x，10y通过A(号,号门取得最大值。
因
为x,r N，故A点不是最优整数解。
于是考虑可行域内A点附近整
点B(5,4),C(4,4)，经检验直线经过E点时，Z max =90.。