必修五高中数学模块综合测试 （满分150分,测试时间120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合M={x|-4≤x≤7}，N={x|x 2-x-12＞0}，则M∩N 为（ ） A.{x|-4≤x ＜-3或4＜x≤7} B.{x|-4＜x≤-3或4≤x ＜7} C.{x|x≤-3或x ＞4} D.{x|x ＜-3或x≥4} 解析：N={x|x ＜-3或x ＞4}，借助数轴，进行集合的运算，如图.得M∩N={x|-4≤x ＜-3或4＜x≤7}.故选A. 答案：A2.若A 是△ABC 的一个内角，且sinA+cosA=32，则△ABC 的形状是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 解析：由sinA+cosA=32，得sinAcosA=185-＜0. 又∵0＜A ＜π，∴2π＜A ＜π.故∠A 为钝角. 答案：C3.一群羊中，每只羊的重量数均为整千克数，其总重量为65千克，已知最轻的一只羊重7千克，除去一只10千克的羊外，其余各只羊的千克数恰能组成一等差数列，则这群羊共有（ ）A.6只B.5只C.8只D.7只 解析：设这群羊共有n+1只，公差为d （d ∈N *）. 由题意，得7n+d n n 2)1(-=55，整理，得14n+n （n-1）d=110. 分别把A 、B 、C 、D 代入验证，只有B 符合题意，此时n=5，d=2. 答案：A 4.已知点P （x ，y ）在经过A （3，0）、B （1，1）两点的直线上，那么2x +4y 的最小值是（ ） A.22 B.42 C.16 D.不存在 解析：可求AB 的直线方程为x+2y=3.∴2x +4y =2x +22y ≥242222222322=+=•+yx y x . 答案：B5.若实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥.022,0,0y x y x y 则w=11+-x y 的取值范围是（ ）A.［-1，31］ B.［31,21-］C.［21-，+∞) D.［21-，1］ 解析：作出不等式组表示的平面区域如下图所示.据题意，即求点M （x ，y ）与点P （-1，1）连线斜率的取值范围.由图可知w min =211101-=---，w max ＜1，∴w ∈［21-，1］.答案：D6.预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是P n =P 0（1+k ）n （k ＞-1），其中P n 为预测期人口数，P 0为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数.如果在某一时期有-1＜k ＜0，那么在这期间人口数（ ） A.呈上升趋势 B.呈下降趋势 C.摆动变化 D.不变解析：P n+1-P n =P 0（1+k ）n+1-P 0（1+k ）n =P 0（1+k ）n （1+k-1）=P 0（1+k ）n ·k ， ∵-1＜k ＜0，∴0＜1+k ＜1.∴（1+k ）n ＞0. 又∵P 0＞0，k ＜0，∴P 0（1+k ）n ·k ＜0. 即P n+1-P n ＜0，∴P n+1＜P n . 答案：B7.设b ＞0，二次函数y=ax 2+bx+a 2-1的图象为下列之一，则a 的值为（ ）A.1B.-1C.251-- D.251+- 解析：由前两个图可知b=0，不合题意.根据后两个图过原点可知a 2-1=0，即a=-1或a=1.当a=1时，函数为y=x 2+bx ，其图象与x 轴交于（0，0）及（-b ，0）两点，不合题意； 当a=-1时，函数为y=-x 2+bx ，其图象与x 轴交于（0，0）及（b ，0）两点，第三个图符合.故选B. 答案：B8.已知凸函数的性质定理：如果函数f （x ）在区间D 上是凸函数，则对于区间内的任意x 1，x 2，…，x n ，有n 1［f （x 1）+f （x 2）+…+f （x n ）］≤)(21nx x x f n Λ++.已知y=sinx 在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC 中，sinA+sinB+sinC 的最大值为（ ） A.2 B.233 C.23D.3解析：据题意得31（sinA+sinB+sinC ）≤233sin 3sin ==++πC B A . ∴sinA+sinB+sinC≤233. 答案：B 9.已知yx 35+=2（x ＞0，y ＞0），则xy 的最小值是（ ） A.12 B.14 C.15 D.18 解析：∵x ＞0，y ＞0，∴2=xyy x 15235≥+. ∴xy≥15，当且仅当yx 35=等号成立. 答案：C10.已知x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-.3,0,05x y x y x 则2x+4y 的最小值为（ ）A.6B.-6C.12D.-12 解析：作出平面区域如下图所示，令z=2x+4y ，欲求z 的最小值，即求y=421zx +-在y 轴上截距的最小值.可以看出当直线过点（3，-3）时，纵截距最小. ∴z min =2×3+4×（-3）=-6.故选B.答案：B11.设集合P={m|-1＜m ＜0}，Q={m ∈R |mx 2+4mx-4＜0,对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ） A.PQ B.QP C.P=Q D.P∩Q=∅解析：由mx 2+4mx-4＜0对x ∈R 恒成立⇒⎩⎨⎧<+=∆<⇒0161602m m m -1＜m ＜0. 当m=0时，-4＜0.∴Q={m|-1＜m≤0}.∴P Q.答案：A12.在锐角三角形中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，设B=2A ，则ab的取值范围是（ ）A.（-2，2）B.（2，3）C.（2，2）D.（0，2）解析：C=π-3A.由0＜B ＜2π，0＜C ＜2π，得6.230,220ππππ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<<<A A ＜A ＜4π. 由正弦定理得AAA B a b B b A a sin 2sin sin sin sin sin ==⇒===2cosA.而22＜cosA ＜23， ∴2＜ab＜3.故选B. 答案：B二、填空题（把答案填在题中横线上.本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.在等差数列{a n }中，当a r =a s （r≠s ）时，{a n }必定是常数数列.然而在等比数列{a n }中，对正整数r 、s （r≠s ），当a r =a s 时，非常数数列{a n }的一个例子是_____________.解析：因为在等差数列{a n }中,当a r =a s 时公差必为0，所以{a n }必定是常数数列，而在等比数列{a n }中,当a r =a s 时公比为±1，当公比为1时是常数数列，当公比为-1时，为摆动数列，所以要符合题意只要任写出一个摆动数列即可. 答案：a ，-a ，a ，-a ，…（a≠0）14.在等差数列{a n }中，已知a 1+a 3+a 5=18，a n-4+a n-2+a n =108，S n =420，则n=___________. 解析：∵（a 1+a 3+a 5）+（a n -4+a n-2+a n ）=3（a 1+a n ）=126，∴a 1+a n =42. 又S n =2422)(1⨯=+n a a n n =420，∴n=20. 答案：2015.已知函数y=f （x ）是偶函数，当x ＞0时，f （x ）=x+x4.当x ∈［-3，-1］时，记f （x ）的最大值为m ，最小值为n ，则m-n=______________.解析：∵y=f （x ）是偶函数，∴即求f （x ）在x ∈［1，3］上的最值. ∵x ＞0时，f （x ）=x+x4≥4（x=2时，等号成立）， ∴n=f （x ）min =4.而m=f （x ）max =f （1）=5，∴m-n=5-4=1. 答案：116.设x 、y ∈R +，S=x+y ，P=xy ，以下四个命题中正确命题的序号是_________________.（把你认为正确的命题序号都填上）①若P 为定值m ，则S 有最大值m 2；②若S=P ，则P 有最大值4；③若S=P ，则S 有最小值4；④若S 2≥kP 总成立，则k 的取值范围为k≤4. 解析：P 为定值m 时，S 应有最小值m 2，故①不正确.S=P 时，x+y=xy ⇒xy≥xy xy ⇒2≥2⇒xy≥4⇒P min =4，∴②也不正确.由S=P ⇒x+y=xy≤4)(2y x +⇒x+y≥4⇒S min =4，∴③正确.S 2≥kP ⇒k≤P S 2，又xy xy xy xy xy y x P S 222222+≥++==4，∴（PS 2）min =4.∴k≤4. ∴④正确.答案：③④三、解答题（答案应写出文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共6小题，共74分） 17.（本题满分12分）在△ABC 中，已知角A 、B 、C 所对的三条边分别是a 、b 、c 且满足b 2=ac.（1）求证：0＜B≤3π；（2）求函数y=B B B cos sin sin 12++的值域.（1）证明：∵b 2=ac ，∴cosB=21222222222=-≥-+=-+ac ac ac ac ac c a ac b c a .又∵0＜B ＜π，∴0＜B≤3π. （2）解:y=B B B B B B B cos sin )cos (sin cos sin 2sin 12++=++=sinB+cosB=2sin （B+4π）.∵0＜B≤3π，∴12744πππ≤+<B .∴当B+44ππ=，即B=4π时，y max =2.当B+44ππ=时，y min =2×22=1.∴y ∈（1，2）.18.（本题满分12分）集合A={x|x 2-5x+4≤0}，B={x|x 2-2ax+a+2≤0}，若B ⊆A 且B≠∅，求a 的取值范围.解：由A={x|x 2-5x+4≤0}⇒A={x|1≤x≤4}. 令f （x ）=x 2-2ax+a+2. ∵B A 且B≠∅,∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<<-≤≥⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-<<≥--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥<<≥∆.718,3,41,12.0718,03,41,02.0)4(,0)1(,41,02a a a a a a a a a a f f a 或⇒2≤a≤718.19.（本题满分12分）在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，角B 的对边b 为1，求证：1＜a+c≤2.证法一：∵2B=A+C ，又A+B+C=180°， ∴B=60°，C=120°-A. 由正弦定理得︒==60sin 1sin sin C c A a ， 再由合分比定理得a+c=332（sinA+sinC ）=332［sinA+sin （120°-A ）］=2sin （A+30°）≤2， 再由两边之和大于第三边，∴1＜a+c.∴1＜a+c≤2.证法二：先得B=60°（同上得）.再利用余弦定理知cosB=ac b c a 2222-+，即acb c a 221222-+=，即（a+c ）2-1=3ac≤2)2(3c a +. 解得a+c≤2.又∵a+c ＞1，∴1＜a+c≤2.20.（本题满分12分）某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台.每批都购入x 台（x ∈N *），且每批均需付运费400元.贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比.若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元.现在全年只有24 000元资金用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量使资金够用?写出你的结论，并说明理由.解：依题意，当每批购入x 台时，全年需用保管费S=2 000x·k.∴全年需用去运输和保管总费用为y=x 3600·400+2 000x·k. ∵x=400时，y=43 600，代入上式得k=201，∴y=x1440000+100x≥x x 10014400002•=24 000.当且仅当x1440000=100x ，即x=120台时，y 取最小值24 000元. ∴只要安排每批进货120台，便可使资金够用.21.（本题满分12分）已知等比数列{a n }满足a 1+a 6=11，且a 3a 4=932. （1）求数列{a n }的通项a n ；（2）如果至少存在一个自然数m ，恰使132-m a ，2m a ，a m+1+94这三个数依次成等差数列，问这样的等比数列{a n }是否存在?若存在，求出通项公式；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=•=+.2,3121,332932,11113121511q a q a q a q a q a a 或∴a n =31)21(3321=-n ×26-n 或a n =31·2n-1. （2）对a n =31·2n-1，若存在题设要求的m ，则2（31·2m-1）2=32·31·2m-2+31·2m +94.∴（2m ）2-7·2m +8=0. ∴2m =8，m=3. 对a n =31·26-n ，若存在题设要求的m ，同理有（26-m ）2-11·26-m -8=0. 而Δ=112+16×8不是完全平方数，故此时所需的m 不存在. 综上所述，满足条件的等比数列存在，且有a n =31·2n-1. 22.（本题满分14分）已知二次函数f （x ）的二次项系数为a ，且不等式f （x ）＞-2x 的解集为（1，3）.（1）若方程f （x ）+6a=0有两个相等的根，求f （x ）的解析式； （2）若f （x ）的最大值为正数，求a 的取值范围. 解：（1）设f （x ）=ax 2+bx+c ，则不等式f （x ）＞-2x 为ax 2+（b+2）x+c ＞0. ∵不等式的解集为（1，3）， ∴a ＜0，ab 2+-=4，ac=3， 即a ＜0，b=-4a-2，c=3a.∵方程ax 2+bx+6a+c=0有两个相等的根， ∴Δ=b 2-4a （6a+c ）=0.把b 、c 分别代入Δ中，得5a 2-4a-1=0.解得a=51-，a=1（舍）. ∴b=56-，c=53-.∴f （x ）的解析式为f （x ）=5356512---x x . （2）由（1）知a ＜0，所以当x=ab2-时，函数f （x ）取到最大值.由题设，得a （a b 2-）2+b·（ab2-）+c ＞0.代入b 、c 并整理，得a 2+4a+1＞0. 解得a ＜-2-3或a ＞-2+3.又∵a ＜0，∴a 的取值范围为（-∞，-2-3）∪（-2+3，0）.。