3.2.3 指数函数与对数函数的关系
课堂导学
三点剖析
一、求函数的反函数问题
【例1】求下列函数的反函数并求出它们的定义域. (1)y=2x -1(-1≤x≤0); (2)y=x 2
-4x+7(x≤2).
解析：(1)∵y=2x -1,∴x 2=1-y 2. 又-1≤x≤0,
∴0≤x 2≤1,0≤1-x 2≤1,0≤2x -1≤1,即0≤y≤1.
∴x=2y -1-(0≤y≤1).
∴所求反函数是y=-2x -1(0≤x≤1).
(2)∵y=(x -2)2
+3,x≤2,
∴y≥3,x -2≤0.
∴x -2=3-y -,x=3-y -+2(y≥3).
∴所求反函数是y=3-x -+2(x≥3).
温馨提示
(1)根据反函数的定义,反函数存在的条件就是使自变量x 在定义域内有唯一解的条件.因此,在解x 时,就要注意这个条件是否会得到满足,从而判定函数是否存在反函数,并进而求出y 的取值范围,即反函数的定义域.
(2)在交换x 、y 时,要将y 的限制条件换成x 的限制条件,并由此得到反函数的定义域.
(3)可以通过求原函数值域的方法,来求出反函数的定义域.
二、指数函数与对数函数的图象关系
【例2】已知a>0,且a≠1,函数y=a x 与y=log a (-x)的图象只能是下图中的( )
思路分析：可以从图象所在的位置及单调性来判别,也可利用函数的性质识别图象,特别注意底数a 对图象的影响.
解法一:首先,曲线y=a x 只可能在上半平面,y=log a (-x)只可能在左半平面上,从而排除A 、C.
其次,从单调性着眼,y=a x 与y=log a (-x)的增减性正好相反,又可排除D.∴应选B.
解法二:若0<a<1,则曲线y=a x 下降且过点(0,1),而曲线y=log a (-x)上升且过点(-1,0),以上
图象均不符合这些条件.
若a>1,则曲线y=a x 上升且过点(0,1),而曲线y=log a (-x)下降且过点(-1,0),只有B 满足条
件.
解法三:如果注意到y=log a (-x)的图象关于y 轴的对称图象为y=log a x,又y=log a x 与y=a x 互
为反函数(图象关于直线y=x 对称),则可直接选定B.
答案：B
温馨提示
(1)函数图象是一个重要问题,一定要掌握好所学过的各类函数的图象,才能解决各类变化了的问题.
(2)y=a x 与y=log a x 为互为反函数关系,其图象关于y=x 对称.
三、指数函数与对数函数性质的综合运用
【例3】设函数f(x)是函数g(x)=x 21的反函数,则f(4-x 2)的单调递增区间为( ) A.［0,+∞) B.(-∞,0］ C.［0,2) D.(-2,0］ 思路分析：f(x)=log 21x,f(4-x 2
)=log 21(4-x 2),利用复合函数的单调性求单调区间.
解：f(x)=log 2
1x,f(4-x 2)=log 21(4-x 2),它是由函数log 21u 和u=4-x 2(-2<x<2)复合而成的,
当-2<x≤0时,u=4-x 2是增函数;当0≤x<2时,u=4-x 2是减函数.由复合函数的单调性知f(x)
的递增区间是［0,2).故选C.
答案：C
温馨提示
(1)研究函数的单调性要用好单调函数的定义,有时数形结合方便.
(2)熟练掌握指数函数与对数函数的单调性.
各个击破
类题演练1
求下列函数的反函数:
(1)y=7x ;(2)y=log 8x;(3)f(x)=lnx.
解析：(1)∵y=7x ,x∈R ,把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x=log 7y,y>0,通常自变量用x
表示,函数用y 表示,则y=log 7x,x>0.
∴y=7x 的反函数是y=log 7x(x>0).
(2)∵y=log 8x,∴8y =x.∴y=8x .
∴y=log 8x 的反函数是y=8x
(x∈R ).
(3)设y=f(x)=lnx,
∴x=e y .∴y=e x .
∴f(x)=lnx 的反函数是f -1(x)=e x (x∈R ).
变式提升1 求函数y=x x x x e e e e --+-的反函数. 解析：由y=x x x
x e e e e --+-得y=1122+-x x e e . ∴ye 2x +y=e 2x -1.
∴e 2x =y y -+11.∵e 2x >0,∴y
y -+11>0.∴-1<y<1. ∴2x=ln
y y -+11(-1<y<1). ∴函数y=x x x x e e e e --+-的反函数为y=21ln x
x -+11(-1<x<1). 类题演练2
当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a -x 与y=log a x 的图象是( )
解析：∵a>1,∴0<
a 1<1. ∴y=a -x =(a
1)x 是减函数. ∴选A 或D.而y=log a x 是增函数,
∴选A 或B.
∴选A.
答案：A
变式提升
已知f(x)=a x ,g(x)=log a x(a>0,a≠1),若f(3)·g(3)<0,那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的
图象可能是( )
解析：∵f(3)·g(3)<0,∴a 3·log a 3<0.
又∵a>0,∴log a 3<0.∴0<a<1.
∴f(x)与g(x)均为减函数.应选C.
答案：C
类题演练3
函数f(x)=a x +log a (x+1)在［0,1］上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为( ) A.41 B.2
1 C.
2 D.4 解析：∵y=a x 与y=log a x 的单调性相同,
∴f(x)的最大值为f(1)或f(0),最小值为f(0)或f(1).
从而f(1)+f(0)=a,∴log a 2+1=0.∴a=2
1. 答案：B
变式提升3
定义在区间［2,4］上的函数f(x)=3x-m (m 是常数)的图象过点(2,1),则函数F(x)=［f -1(x)］
2-f -1(x 2)的值域为( )
A.［2,5］
B.［1,+∞)
C.［2,10］
D.［2,13］
解析：由条件可知,32-m =1,∴m=2.∴f(x)=3x-2.
∴f -1(x)=log 3x+2(1≤x≤9).
∴F(x)=(log 3x+2)2-(log 3x 2+2)
=log 32x+2log 3x+2
=(log 3x+1)2+1(1≤x≤3).故当x=1时,F(x)min =2;
当x=3时,F(x)max =5.
∴F(x)的值域为［2,5］.
答案：A。