指数函数和对数函数
重点、难点：
重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。
难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数
y a x ，y log a x 在
a 1及 0 a 1两种不同情况。
1、指数函数：
y
x
且a
叫指数函数。
定义：函数
aa
0 1
定义域为 R ，底数是常数，指数是自变量。
为什么要求函数 y
a x 中的 a 必须 a
0且a
1 。
因为若 a
0时， y
4 x ，当 x
1
时，函数值不存在。
4
a
0 ， y 0x ，当 x
0 ，函数值不存在。
a 时， y
1 x
x 虽有意义，函数值恒为
1，但
1
对一切 y
1x 的反函数不存在，
因 为 要 求 函 数 y
a x 中 的
a
0且 a 1 。
x
1、对三个指数函数
y
2 x ， y
1 ，y
10x 的图象的
2
认识。
图象特征与函数性质：
图象特征
函数性质
（ 1）图象都位于
x 轴上方；
（ 1） x 取任何实数值时，都有 a
x
0 ；
2
0 1 ）； （ 2）无论 a 取任何正数， x 0
时， y 1 ；
（ ）图象都经过点（ ，
（ 3） y
2x ， y 10 x 在第一象限内的纵坐
（ 3）当 a
x 0，则 a x 1
1 时，
0，则 a x
1
标都大于 1，在第二象限内的纵坐标都小于
1，
x
1 y
2
x
x 0，则 a x
1
当 0
的图象正好相反；
a 1时，
0，则 a x 1
x
（ 4） y
2x ， y 10 x 的图象自左到右逐渐
（ 4）当 a 1 时， y
a x 是增函数，
上升， y 1
2
x a 1时，y a x是减函数。
当 0
的图象逐渐下降。
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）：
①所有指数函数的图象交叉相交于点（ 0，1），如y2x和 y10 x相交于(0，1)，当x0 时，y 10x 的图象在 y 2 x的图象的上方，当x 0，刚好相反，故有 10222及102 2 2。
1x
② y 2 x与y的图象关于 y 轴对称。
2
③通过 y 2x，y10 x，y1
2x
三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x（a0且a 1 ）的
示意图，如y 3x的图象，一定位于 y 2 x和 y 10 x两个图象的中间，且过点(0，1) ，从而 y 1
3x
也由
1关于 y 轴的对称性，可得y
3
2、对数：x
的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
定义：如果b(
a 01)
，那么数 b 就叫做以 a 为底的对数，记作
b log a N
（ a 是底数， N 是
aN且a 真数， log a N 是对数式。
）
由于 N a b
0故
log a N
中 N必须大于。
当N为零的负数时对数不存在。
（ 1）对数式与指数式的互化。
由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如：
求 log 0.3252
4
log
52
分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成0.32x ，再改写为指数式就
4
比较好办。
解：设 log
52
0 .32x
4
则 0.32 x
5
2
4
8x
8 即
25
25
∴ x 1
2
即 log
5 2
0.32
4
1 2 1 2
评述： 由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。
如求 3x
5中的 x ，化为对数式 x log 3 5即成。
（ 2）对数恒等式：
由 a b
N (1) b log a N
(2)
将（ 2）代入（ 1）得 a log a N
N
运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。
log 1 2
计算：
3
3
1
l og 1 2 2
解：原式
3
3
（ 3）对数的性质：①负数和零没有对数； ② 1 的对数是零；③底数的对数等于 1。
（ 4）对数的运算法则：
1
3
lo g 1 2 2
3。
① log a MN
log a M l og a N M ， N R
②
log a M
log a M log a N M ，
N R
N
③
log a N n
n l og a N N
R
④ log a
n
N
1
log a NNR
n
3、对数函数：
定 义 ： 指 数 函 数 y a x
( a 且 a 1)
的反函数
y log a x x (0, ) 叫做对数函数。
1、对三个对数函数 y
log 2 x ， y l og 1 x ，
2
y lg x 的图象的认识。
图象特征与函数性质：
图象特征函数性质
（ 1）图象都位于y 轴右侧；（ 1）定义域：R+，值或：R；
（ 2）图象都过点（1， 0）；
（ 2）x1时，y0。
即 log a 10 ；
（ 3）y l og2x ， y lg x 当x
（ 3 ）当a 1 时，若x 1 ，则y0 ，若1时，图象
x1，则y 0；
在 x 轴上方，当0x0 时，图象在x轴下当
0a 1 时，若 x0 ，则y0 ，若
方， y log 1x 与上述情况刚好相反；0x1时，则y0 ；
2
（ 4）y log2x， y lg x 从左向右图象是上（ 4）a1时，y log a x
是增函数；
升，而 y log 1 x 从左向右图象是下降。
0 a1
时， y log a x 是减函数。
2
对图象的进一步的认识（通过三个函数图象的相互关系的比较）：
（ 1）所有对数函数的图象都过点（ 1,0 ），但是y log2 x 与 y lg x 在点（1,0）曲线是交叉的，即当 x0时， y log 2x 的图象在 y lg x 的图象上方；而0x1时，y l og2 x 的图象在 y lg x 的图象的下方，
故有： log.l g .
l g 01.。
2 1515 ； log 2 01.
（ 2）y log2 x 的图象与y log 1 x 的图象关于x轴对称。
2
（ 3）通过y l og 2 x ， y lg x ，y log 1x 三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如
2
作 y log3 x 的图象，它一定位于 y log2x 和 y lg x 两个图象的中间，且过点（1,0），x 0时，在 y lg x 的上方，而位于y log 2 x 的下方，0 x1时，刚好相反，则对称性，可知 y log 1x 的示意图。
3因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。
4、对数换底公式：
log b N log a N log a b
LN n log e N (其中
e 2.71828
⋯称为的自然对数
)N
LN g log10 N 称为常数对数由换底公式可得：
L n N l g N lg N
2.303lg N l g e0.4343
由换底公式推出一些常用的结论：
（ 1）log a b
1
或 l og a b· log b a 1 l og b a
（ 2）log n b m m
log a b
a n
（ 3）log a n b n log a b
（ 4）log a n a m m
n
5、指数方程与对数方程*
定义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。
在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。
由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。
指数方程的题型与解法：
名称题型解法
基本型
a f x b取以 a 为底的对数f x log a b
同底数型
不同底数型a f ( x)a( x)取以 a 为底的对数f x x
需代换型
a f x
b x
fx· l g a x · lgb
F a x0
取同底的对数化为
换元令 t a x转化为t的代数方程
对数方程的题型与解法：
名称题型解法
基本题
log a f x b对数式转化为指数式f x a b 同底数型
log a x转化为 f x x
log a fx（必须验根）
需代换型
F
(log a0换元令 t log a x 转化为代数方程
x)。