【教学设计中学数学】
区县雁塔区
学校西安市航天中学
姓名贾红云
联系方式
邮编710100
《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计
一、设计理念
《普通高中数学课程标准》明确指出:“学生的数学学习活动,不应该只限于接受、记忆、模仿和练习,高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式;课程内容的呈现,应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律,体现从具体到抽象,特殊到一般的原则;教学应注意创设情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉等”。
本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容,本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较,目的是探讨不同类型的函数模型,在描述实际增长问题时的不同变化趋势,通过本节课的学习,可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动,利用几何画板这种信息技术工具,可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异,使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想,并为学生提供了学数学、用数学的机会,体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。
二、教学目标
1.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义,理解它们增长的差异性;
2.能借助信息技术,利用函数图像和表格,对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较,体会它们增长的差异;
3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用,体会数学的价值.
三、教学重难点
教学重点:认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异,体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含 义。
教学难点:比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异
四、教学准备
⒈提醒学生带计算器; ⒉制作教学用幻灯片;
⒊安装软件:几何画板 ,准备多媒体演示设备
五、教学过程
㈠基本环节
⒈创设情景,引起悬念
杰米和韦伯的故事
一个叫杰米的百万富翁,一天,碰上一件奇怪的事,一个叫韦伯的人对他说,我想和你定个合同,我将在整整一个月中每天给你
10万元,而你第一天只需给我一分钱,而后每一天给我的钱是前一天的两倍。
杰米说:“真的?!你说话算数?”
合同开始生效了,杰米欣喜若狂。
第一天杰米支出一分钱,收入10万元;第二天,杰米支出2分钱,收入10万元;第三天,杰米支出4分钱,收入10万元;第四天,杰米支出8分钱,收入10万元…..到了第二十天,杰米共得到200万元,而韦伯才得到1048575分,共10000元多点。
杰米想:要是合同定两个月、三个月多好!
你愿意自己是杰米还是韦伯?
【设计意图】创设情景,构造问题悬念,激发兴趣,明确学习目标 ⒉复习旧知,提出问题
图1-1 图1-2 图1-3
⑴ 如图1-1,当a 时,指数函数x
y a =是单调 函数,并且对于0x >,当底数a 越大时,其 函数值的增长就越 ;
⑵ 如图1-2当a 时,对数函数log a y x =是单调 函数,并且对1x >时,当底数a 越 时 其函数值的增长就越快;
⑶ 如图1-3当0x >,0n >时,幂函数n y x =是增函数,并且对于1x >,当n 越 时,其函数值
的增长就越快。
【设计意图】复习学过的三种函数,为新知识学习做好准备 ⒊实验探究,揭示真相
⑴动手实践 学生利用计算器计算函数值完善表格里的数据
【设计意图】
①指导学生使用计算器,计算对数值和大指数幂的值; ②通过计算让学生感受随着自变量的变化,函数值的变化情况。
⑵实验1 教师利用几何画板在同一坐标系中做出函数x y 2=,)0(2
>=x x y ,x y 2log =的图像,如图1-4,引导学生通过观察得到三种函数增长差异的初步结论;
⑶实验2教师利用几何画板在同一坐标系中做出函数x y 2=,3
(0)y x x =>,的图像,如图1-5,引导学生通过观察感受指数函数、幂函数增长的差异;
如图1-5 图1-6
⑷实验3教师讲解比较函数x
y 2=、100
(0)y x
x =>增长的快慢为何要降次,利用几何画板在同一坐
标系中作函数y x =和2100log y x =的图像,如图1-6,引导学生通过观察感受两个函数增长的差异,从而进一步确信指数函数、幂函数增长的差异
【设计意图】通过实验1,引导学生直观观察,进一步感受三种函数增长的差异,得到:随着x 的值增大
x y 2log =的函数值增长的越来越慢,x y 2=和)0(2>=x x y 的函数值增长的越来越快;x y 2log =增
长比x
y 2=和)0(2
>=x x y 要慢的多;对函数x
y 2=和)0(2
>=x x y 而言,在x 比较小时,会存在
)0(2>=x x y 比x y 2=的增长快的情况,当x 比较大时,x y 2=比)0(2>=x x y 增长得更快.
通过实验2,比较x y 2=比3(0)y x x =>的增长快慢,进一步得到:在x 比较小时,会存在3
(0)y x x =>比x y 2=的增长快的情况,当x 比较大时,x y 2=比3
(0)y x x =>增长得更快. 通过实验3,加大幂函数的幂指数,比较x
y 2=和100
(0)y x
x =>增长的快慢,此时采用两边取对数降次
的方法,只需比较y x =和2100log y x =的增长的快慢,让学生进一步确信:当x 足够大时,随着x 的增大,
x y a =的增长速度越来越快,会超过并远远大于n y x =的增长速度。
⒋用以致用,解决问题
第x 天时杰米所得10x 万元,(直线型函数) 第x 天时韦伯所得()2
3
1
121222 (2)
2112
x
x x --+++++==--分=()61021x --万元,(指数型函数) 从第29天起,情况发生了变化,第29天,杰米共收入290万元,却支出1分,约537万元,结果杰米在一个月(31天)内得到310万元的同时,共付给韦伯47分,也就是2000多万元!杰米破产了! 【设计意图】学以致用,用实际例子体会直线上升和指数爆炸,呼应课前提出的问题。
⒌归纳总结,加深印象
让学生谈谈本节课的收获,用自己的语言归纳,教师引导,总结三个名词“对数增长、直线上升、指数爆炸”。
【设计意图】提炼重点,画龙点睛 ⒍作业布置,加强应用
【设计意图】增长生活常识,用所学知识解决实际问题
六、教学反思
⒈反思数学教学观
笔者的数学教学基本观点是:创设丰富的情境,激发学生的学习兴趣;以学生为中心,加强数学活动过程的教学,留有探索与思考的余地;营造一种合作交流的课堂气氛,引导学生主体参与,还学生学习主动权,自我挖掘其创造潜能。
⑴ 在本课的教学中,开场提出“杰米和韦伯的故事”,设置悬念,激发了学生的学习兴趣; ⑵本节课基本上做到了让学生经历数学化的过程,在数学活动中学习数学。
从动手实践、猜想、逐步验证,体现了由特殊到一般的数学思想方法,有助于培养学生严谨的科学态度。
⒉反思教学过程 ⑴对教与学的反思:
在这节课的课堂教学中,师生关系是平等的,学生有很多发言的机会,充分展示了知识的生成过程,从学生的动手计算、动手作图、猜想、教师验证、学生总结等,学生都主动参与,教师的作用是引导和组织,可以说教与学水乳交融、相互促进;
⑵对课堂提问的反思:这一节课的课堂提问相对较多,基本上是站在学生的角度,设置一些力所能及 的问题,充分发挥学生的能动性,但是思维活跃的同学回答问题积极,其余的同学则反应平淡。
⑶对教学效果的反思
本节课通过师生的共同努力,达到了比较满意的教学效果,但在一些知识性问题如函数x
y 2=和
)0(2>=x x y 图像的交点个数问题等还要在第四章进一步巩固。
以后课堂教学应注意改进的方面有:
⒈ 提出问题以后,留给学生充分的独立思考时间多些,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其 他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问;
⒉ 课堂生成的知识,例如运算过程、解题思路、新办法好技巧等要加强相互交流,达到相互启发、 相互促进的效果。