1 (6) a a2
1 b b2
1 c ， a, b, c ∈ R . c2
(1)
1 −1 1 2
= 1 ⋅ 2 − 1⋅ (−1) = 3
(2)
cos θ sin θ
− sin θ = cos 2 θ − (− sin 2 θ ) = 1 cos θ
r3 − r2
1 2 3
1 2 3
(3) 4 5 6 = 4 5 6 = 3 3 3 = 0 7 8 9 3 3 3 3 3 3 (4) 方法一
1
1 2 −1
(5) 0 0 2 2
1 a a2 1 b b2
1 2 2 = (−1) 2+3 ⋅ 2 ⋅ =4 2 2 1
(6)
1 c = (b − a )(c − a )(c − b) c2
2.计算以下排列的逆序数，并说明其奇偶性：
(1) 3 1 4 5 2 ； (2) 3 4 1 5 2 ； (3) 1 3 5 " 2n − 1 2 4 6 " 2n ， n ≥ 1 ； (4) 2 4 6 " 2n 1 3 5 " 2n − 1 ， n ≥ 1 .
x3 ( y2 − y1 ) x3 ( y3 − y1 ) x3 ( y4 − y1 ) x4 ( y2 − y1 ) x4 ( y3 − y1 ) x4 ( y4 − y1 )
(2)
a2 b c2
2
(a + 1) 2 (b + 1) (c + 1) 2
2
(a + 2) 2 (b + 2) (c + 2) 2
df iji ( x)
" f njn ( x) = ∑
n
i =1 j1 , j2 ,", jn
∑
(−1)σ ( j1 , j2 ,", jn ) f1 j1 ( x)"
" f njn ( x)
=∑
i =1
n
f11 ( x) # df i1 ( x) dx # f n1 ( x)
f12 ( x) " " f1n ( x) # # dfi 2 ( x) df in ( x) " " dx dx # # f n 2 ( x) " " f nn ( x)
有 2 个，" ，比 2k 小且排在 2k 后面的数为 1,3," , 2k − 1 ，有 k 个，后面的奇数均 按标准顺序排列，故排列的逆序数为 1 + 2 + " + n = 3.设 j1 , j2 ," , jn 为任一 n 阶排列，计算
n(n + 1) 。 2
σ ( j1 , j2 ," , jn ) + σ ( jn ," , j2 , j1 )
习题一 行列式与线性方程组的 Gauss 消元法
1.计算以下行列式： (1)
1 −1 ； 1 2
(2)
cos θ sin θ
− sin θ ，θ ∈ R ； cos θ
1 2 3 (3) 4 5 6 ； 7 8 9
1 2 −1 (5) 0 0 2 ； 2 2 1
【解答】
0 a 0 (4) b 0 c ， a, b, c, d ∈ R ； 0 d 0
d2
(d + 1) 2
(d + 2) 2
d2
2d + 1 2d + 3 2d + 5
d2
(3) by + az bz + ax bx + ay y z x z x y bx + ay by + az bz + ax = b bx + ay by + az bz + ax + a bx + ay by + az bz + ax bz + ax bx + ay by + az bz + ax bx + ay by + az bz + ax bx + ay by + az y z x y z x z x y x y z z x + ab x y z =b + ab y bz + ax bx + ay by + az bz + ax bx + ay by + az bz + ax bx + ay by + az
k =1 k =1
n
n
n(n − 1) 2
4.确定六阶行列式中，项 a13 a 31 a 24 a 62 a 45 a56 所带符号。 【解答】
σ (3, 4,1,5, 6, 2) = (−1)6 = 1 ，故项 a13 a31 a 24 a 62 a 45 a56 所带符号为正号。
5.选择 i, j ，使得五阶行列式中项 a1i a34 a 2 j a53 a 41 所带符号为正号。 【解答】 只有两种可能： i = 2, j = 5 和 i = 5, j = 2 。 i = 2, j = 5 时，σ (i, j , 4,1,3) = 6 ，因 此， i = 2, j = 5 时，项 a1i a34 a 2 j a53 a 41 所带符号为正号。 6.利用行列式的定义计算以下行列式：
2
(a + 3) 2
2
a2
2
2a + 1 2a + 3 2a + 5 2b + 1 2b + 3 2c + 1 2c + 3
a2
2
2a + 1 2 2 2b + 1 2 2 =0 2c + 1 2 2 2d + 1 2 2
b (b + 3) = 2 2 c (c + 3) (d + 3) 2
2b + 5 b = 2c + 5 c 2
用对角线法则
0 a 0 b 0 c = 0⋅0⋅0 + a⋅c⋅0 + b⋅d ⋅0 − a⋅b⋅0 − c⋅ d ⋅0 − 0⋅0⋅0 = 0 0 d 0
r2 − r1
1 2 3
方法二 按行按列展开
0 a 0 b c = −a ⋅ 0 = 0 b 0 c = (−1)1+ 2 a 0 0 0 d 0
2
y z x y 3 =b x y z x +a z bz + ax bx + ay by + az
2
z y x
x z 3 z +a y y x
x z y
y x 3 3 x = (a + b ) z z y
y x z
z y x
a11
a12 a 22 a32
a13 a 23 = a ，计算下列行列式： a33
f11 ( x) #
f12 ( x) #
" "
f1n ( x) #
d d fi 2 ( x) " " f in ( x) . dx dx # # f n 2 ( x) " " f nn ( x)
f12 ( x) " f 22 ( x) " # f n 2 ( x) "
f1n ( x) f 2 n ( x) # f nn ( x) =
f11 ( x) d f 21 ( x) dx # f n1 ( x)
【解答】
f11 ( x) f 21 ( x) # f n1 ( x)
f12 ( x) " f 22 ( x) " # f n 2 ( x) "
f1n ( x) n f 2 n ( x) d =∑ fi1 ( x) # i =1 dx # f nn ( x) f n1 ( x)
【解答】 假设排列 j1 , j2 ," , jn 中比 jk 小但排在 jk 后面的数有 τ k 个， 则比 jk 大且排在 jk 后面的数有 n − k − τ k ，因此，排列 jn ," , j2 , j1 中比 jk 大但排在 jk 前面的数有
2
n − k − τ k 个。因此，
σ ( j1 , j2 ," , jn ) + σ ( jn ," , j2 , j1 ) = ∑τ k + ∑ (n − k − τ k ) =
n i =1
f1n ( x) f 2 n ( x) d = # dx f nn ( x) dx
j1 , j2 ,", jn
∑
(−1)σ ( j1 , j2 ,", jn ) f1 j1 ( x) f 2 j2 ( x)" f njn ( x) dfiji ( x) dx
∑
(−1)σ ( j1 , j2 ,", jn ) ∑ f1 j1 ( x)"
【解答】
(1) 3 > 1,3 > 2, 4 > 2,5 > 2 ，排列的逆序数为 4 ，为偶排列。
(2) 3 > 1,3 > 2, 4 > 1, 4 > 2,5 > 2 ，排列的逆序数为 5 ，为奇排列。 (3) 比 1 小且排在 1 后面的数有 0 个，比 3 小且排在 3 的后面的数为 2 ，有 1 个，
(1)
=0；
(2)
= 0；
4
by + az bz + ax bx + ay
3 3
x
y x z
z y。 x
(3) bx + ay by + az bz + ax = (a + b ) z bz + ax bx + ay by + az y