习题1.21. 按行列式定义,计算下列行列式(要求写出过程): (1)22b a b a ; (2)1log log 1b a a b ; (3)θθθcos 1sin tan ; (4) 00000dc b a; (5) 111111111---; (6) edba 00000. 分析 计算2阶行列式和3阶行列式可用对角线法则. 解 (1)22bab a =22ba ab -;(2)1log log 1b a a b =-1a b log b a log 110=-=;(3)θθθcos 1sin tan =0sin cos tan =-⋅θθθ; (4) 0000d c b a=00000000000ac bd ab cd ⨯⨯+⋅+⋅-⨯⨯-⋅-⋅=; (5) 111111111---=111(1)(1)(1)11111(1)⨯⨯+-⨯-⨯-+⨯⨯-⨯⨯- (1)111(1)11111114--⨯⨯-⨯-⨯=-++++=;(6) 0000abc de=00000000abe c d b cda e abe acd ++---=-. 2. 在6阶行列式ij a 中, 下列项应该取什么符号? 为什么? (1) 233142561465a a a a a a ; (2) 324354116625a a a a a a ; (3) 215316426534a a a a a a ; (4) 511332442665a a a a a a . 解 (1) 因(234516)(312645)448ττ+=+=, 所以取正号;另一种方法是: 233142561465a a a a a a =142331425665a a a a a a , 因(431265)τ6=, 所以取正号. (2),(3), (4) 也可这样做, 不再列出.(2) 因(345162)(234165)7411ττ+=+=, 所以取负号; (3) 因(251463)(136254)6511ττ+=+=, 所以取负号; (4) 因(513426)(132465)628ττ+=+=, 所以取正号.3. 当i =___, k =___时13242553i k a a a a a 成为5阶行列式ij a 中一个取负号的项,为什么? 解i 和k 只能取1,4或者4,1.不妨先假设1,4i k ==, 则13242553i k a a a a a =1132442553a a a a a , 这个项的符号就是(13425)(12453)4(1)(1)1ττ+-=-=+, 不符合要求. 那么当4,1i k ==时13242553i k a a a a a =1432412553a a a a a , 它和1132442553a a a a a 相比就是交换了列指标1和4的位置, 因(12453)τ与(42153)τ相比改变了奇偶性, 所以1432412553a a a a a 的符号为负. 故应填4,1i k ==. 4. 若(415)(12345)41213455(1)k i k i a a a a a ττ+-是5阶行列式ij a 中的一项, 则当i =___,k =___时该项的符号为正, 当i =___, k =___时该项的符号为负, 为什么?解 此问和问题3类似, i 和k 只能取2,3或者3,2.不妨先假设2,3i k ==, 则符号为(43125)(12345)(1)ττ+-=5(1)(1)-=-, 所以取的是负号. 那么由问题3的分析可知当3,2i k ==时符号取正. 所以当3,2i k ==时该项的符号为正, 当2,3i k ==时该项的符号为负.5. 写出4阶行列式ij a 中包含因子4223a a 的项, 并指出正负号.解 参照习题1.1的第6题知, 4阶行列式ij a 中包含因子4223a a 的项有11233442a a a a 和14233142a a a a . 由于(1342)2τ=，故11233442a a a a 取正号; (4312)5τ=，故14233142a a a a 取负号.6. 写出4阶行列式ij a 中所有取负号且包含因子23a 的项. 解 类似于第5题可推知, 4阶行列式中包含23a 的项为11233244a a a a (1324)1τ= 取负号; 11233442a a a a (1342)2τ= 取正号; (也可由(1)取负号推知(2)取正号) 12233441a a a a (2341)3τ= 取负号;12233144a a a a (2314)2τ= 取正号; (也可由(3)取负号推知(4)取正号) 14233142a a a a (4312)5τ= 取负号; 14233241a a a a (4321)6τ= 取正号. (也可由(5)取负号推知(6)取正号) 所以所求的项为11233244a a a a , 12233441a a a a , 14233142a a a a .7. 按行列式定义, 计算下列行列式((4)中1n >, 并均要求写出计算过程):(1) 112003ab ---; (2)000000000000a b c d; (3) 12345123451212120000000a a a a a b b b b b c c d d e e ; (4) 11121,1121222,11,11,21000000n n n n n n a a a a a a a a a a ----. 解 (1)由对角线法则, 112003ab ---=(1)(2)(3)00011(2)0ab -⨯-⨯-+⨯⨯+⋅-⨯-⨯(1)00(3)(6)6b a ab ab --⨯⋅-⋅⋅-=-+=-; (2) 根据定义44ija ⨯=123412341234()1234(1)j j j j j j j j j j j j a a a a τ-∑.在行列式000000000000a b c d的通项中, 只有11233244a a a a 这一项的因子中不含零, 所以 原式=(1324)11233244(1)a a a a τ-=11233244a a a a -=abcd -. (3) 根据定义55ija ⨯=123451234512345()12345(1)j j j j j j j j j j j j j j j a a a a a τ-∑.在行列式12345123451212120000000a a a a ab b b b bc cd de e 的通项中每一个项1234512345j j j j j a a a a a 中最后三个因子345345,,j j j a a a 分别取值于行列式最后三行的不同列的三个数, 而行列式最后三行中均只有二个数不为零, 所以这三个因子中至少一个取零. 这样行列式的每一项中都含有因子零, 所以每项都为零, 从而行列式为零.(4) 根据定义ijn na ⨯=121212()12(1)n n nj j j j j nj j j j a a a τ-∑ , 该展开式通项1212nj j nj a a a 中n nj a 取自11121,1121222,11,11,2100000n n n n n n a a a a a a a a a a ----的第n 行, 现在第n 行中除了1n a 外其余元素都为零. 故若1n j ≠, 则对应的行列式展开式中的那一项一定为零, 求和时可不考虑. 因此只要考虑1n j =的项. 同样对于行列式的第1n -行中除了1,1n a -和1,2n a -外其余元素都为零, 且因1n j =, 从而1n j -只能取2了. 依次类推, 行列式展开式的所有项中除去列指标12(1)1n j j j n n =- 对应的项外都为零. 又因为1((1)1)(1)2n n n n τ-=- , 所以原式=1(1)212,11,21(1)n n n n n n a a a a ---- .8. 问11142223323341440000000a a a a a a a a =1122334414233241a a a a a a a a - 为什么错? 正确答案是什么?解 错, 原因在于没有搞清楚4阶行列式定义而把2,3阶行列式的对角线法则误认为对4阶行列式也成立. 4阶和4阶以上的行列式没有对角线法则. 正确答案为:11223344142332411123324414223341a a a a a a a a a a a a a a a a +--.具体解法可参考习题1.4第5题之(3).9. 若n 阶行列式ij D a =中元素ij a (,1,2,,)i j n = 均为整数, 则D 必为整数, 这结论对不对? 为什么?解 对. 行列式的值是行列式中取自所有不同行不同列的元素乘积的代数和, 而整数经加,减,乘之后仍然为整数.10. 计算(1)n n >阶行列式000100100100100----. 解 方法一 该行列式的展开式只有一项不为零, 即12,11n n n a a a - , 而该项带有的符号为(1)((1)1)2(1)(1)n n n n τ---=- , 所以原式=(1)(1)22(1)(1)(1)n n n n n-+-⋅-=-.方法二 直接利用第7题第(4)小题的结论得: 原式=(1)(1)22(1)(1)(1)n n n n n-+-⋅-=-.。