第一章 行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。

（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。

如果0=b ，则有a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。

所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ⊄。

同样可得)()(p Q q Q ⊄。

（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q 和ℜ之间存在无穷多个不同的数域。

2. 解：（1）)1(-P 是数域，证明略（与上面类似）。

（2）)1(-Q 就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。

而=-=-ℜ)1()1(C 复数域。

（3）)1(-Z 不是数域，这是因为他关于除法不封闭。

例如)1(21-∉Z 。

3. 证明：（1）因为K F ,都是数域，所以K Q F Q ⊆⊆,，从而K F Q ⋂⊆。

故K F ⋂含有两个以上的复数。

任给三个数K F c K F b a ⋂∈≠⋂∈0,,，则有F c b a ∈,,且K c b a ∈,,。

因为K F ,是数域，所以有F c a ab b a ∈±,,且K c a ab b a ∈±,,。

所以K F caab b a ⋂∈±,,。

所以K F ⋂是数域。

（2）K F ⋃一般不是数域。

例如)3(),2(Q K Q F ==，我们有K F ⋃∈3,2，但是K F ⋃∉=326。

习题1.22. 解：项651456423123a a a a a a 的符号为 =-+)312645()234516()1(ττ习题1.31．证明：根据行列式的定义111111111=121212()12(1)n nnj j j j j nj j j j a a a τ-∑1ij a =1212()(1)n nj j j j j j τ-∑=0。

所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生的。

同时根据行列式的定义这里包括了所有的n 阶排列，故可以得到全体n 阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。

2．解(1) 19981999200020012002200320042005200632C C -19981999120012002120042005121C C -199811200111200411=0； （2）1001022003304004--3241C C C C -+1000020*********-下三角形1268=96⨯⨯⨯；（3）11101101101101112131R R R R --111000*********1--24R 1110011101010011--32R R +1110011100120011- 43R R +1110111001203上三角形1113=3⨯⨯⨯；（4）222222a b caab bc a b cc c a b------123R R R ++2222a b c a b c a b c bb c a b c cc a b++++++---- 提取公因子111()2222a b c b b c a b c c c a b++----2131(2)(2)R b R R c R --111()0000a b c b c a c a b++------=3()a b c ++。

（5）7222227222227222227222227512ii C C =+∑15222215722215272215227215222712,3,4,5i R R i -=15222205000005000005000005上三角形515555535⨯⨯⨯⨯=⨯。

3．解：（1）111213212223313233x y x y x y x y x y x y x y x y x y 提取每行的公因子123123123123y y y x x x y y y y y y 性质40。

（2）左端14,3,2i i C C i --=2222212325212325212325212325a a a ab b b b cc c cd d d d ++++++++++++4332C C C C --22222122212221222122a ab b cc d d ++++=0=右端。

（3）1211121122112111111n n n n n a a a a b a a a a b a a a a b -----+++12,i R R i n-=12112110000000n n a a a b b b -- 上三角形121n bb b -。

（4）原式（先依次12211,,,C C C C C C n n n n ------ ）=。

=⎩⎨⎧>=2,2,n if n if 。

（5）原式（先依次12211,,,R R R R R R n n n n ------ ）=。

=⎩⎨⎧>=2,2,n if n if 。

4．解：设展开后的正项个数为x 。

则由行列式的定义有!2)!(n x x n x D -=--=。

又因为=D （利用n i R R i ,,3,2,1 =+）221021001 （下三角行列式）12-=n 。

所以有2!2,!2211n x n x n n +=-=--。

5．证明：（1）左端123C C C ++提取公因子1111111222222233333332a b c c a a b a b c c a a b a b c c a a b ++++++++++++2131C C C C--1111122222333332a b c b c a b c b c a b c b c ++--++--++--1233C ;(1)C C C C ++-2(-1)1112223332a b c a b c a b c =右端。

（2）利用性质5展开。

6．解：（3）与上面3（3）类似可得。

7．解：利用行列式的初等变换及性质5。

8．解：11221100000000011111n n a a a a a a -----11,2,,1i i C C i n ++=-1210000000000001231n a a a n n-----下三角形121(1)n n na a a --。

9．证明：设原行列式=D 。

则对D 进行依次如下变换后∑=+⨯⨯521432314,10,100,10,10i i C C C C C C 所得的行列式D ′第一列由题设中所给的5个数字构成。

从而由行列式的定义可知D ′可被23整除。

又由行列式的性质知D ′D 1010=。

因为23是素数，且1010不可能被23整除，所以D 可以被23整除。

习题1.41．解：(1) 0000000000xa b cy de zfgh k u lv5按第行展开0000xa b y ve z gh k u按第4列展开000x a bvu y e z按第1列展开y xuve z=xyzuv ；(2)111123413412412314,3,2i iR Ri--=1111123011311311--12,3,4iR Ri-=1111012100400400---按第1列展开121040400---1.27(4)-习题第题3(31)2(1)(1)(4)(4)-----=16；(3)方法一010000010000010a b c d ee d c b a按第1列展开100001000010ad c b a+511000(1)01000010b c d ee+-第2个行列式按第4列展开241100(1)010001a e e++-=22a e-；方法二逐次均按第2行展开可得同样结果, 具体解法可参见下例。

(4)逐次按第2行展开12310001000000000001000nnaaaaa-=132010010naaaa==123111nnaa a aa-=2311(1)n na a a a a--；(5)123111221232222123222331233110001000111000x x xa b ca b x x x cx x xa b x x x c36C123111222231222123222333231111000000111000x x xa b ca b c x x xx x xa b c x x x-35R123222123222231111222333231111000000000111x x x x x x a b c x x x a b c a b c x x x 45R 123222123111222231222333231111000000000111x x x x x x a b c a b c x x x a b c x x x -=2123(,,)D x x x -=222313221()()()x x x x x x ----；(6)231111122144188xx x --=(1,2,2,)D x -=(2)(2)(1)(22)(21)(21)x x x +-------212(1)(4)x x =--；（7）换行后可得到范德蒙行列式； （8）先把第一行加到第三行，再提取第三行的公因式，换行后可得到范德蒙行列式。