解三角形题型分类解析类型一：正弦定理1、计算问题：例:L （2013*北京）在AABC 中，a=3< b二5, sinA」，则sinB二 _________ ,3 =^—例2、已知△磁中，ZJ = 60°, u =则————二.sin A + sinB + sinC例3、在锐角AABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且2asinB=Va?. 求角A的大小：2、三角形形状问题例3、在AABC中，已知“,b,c分別为角A, B, C的对边，1）2 =沁_试确左AABC形状。
h cosB2）若匕=竺色，试确左MBC形状。
b cos A■4）在中，已知n2 tanB=/72taiM,试判断三角形的形状。
5）已知在AABC■中,bsinB = csinC,且sin2 A = sin2 i?+sin2 C,试判断三角形的形状。
例4、（2016年上海）已知AABC的三边长分别为3, 5, 7,则该三角形的外接圆半径等于类型二：余弦定理I1、判断三角形形状：锐角、直角、钝角在△遊中，若a2+b2=c2,则角C是直角：若a2+b2<c2,则角C是钝角：若a2+b2>c2,则角C是锐角.例1、在ZXABC中，若戲9, b 10, o 12,则ZkABC的形状是_________2、求角或者边例2、（2016年天津高考）在△磁中，若AB=Vn,BC二3, ZC = 120，则AO.例3.在△川兀中，已知三边长d = 3, b = 4, C = V37 ,求三角形的最大内角.例4、在△磁中,已知a=7, b=3, c=5,求最大的角和sinC3、余弦公式直接应用例5、：在AABC中，若a2=b2+c2+bc,求角凡例6、：(2013重庆理20)在△磁中，内角儿B, Q的对边分别是a, 6, 6 且a~ + Zf + 5/2 ab—c.⑴求G例八设△ABC的内角A, B, C所对的边分别为—b, c・若(u + b-c)(a + b + c) = ab , 则角c= 例8、(2016 年北京髙考)在AABC 中，a2+c2 =b2+>j2ac(1)求ZB的大小：(2)求>/2 cosA + cosC 的最大值.类型三：正弦、余弦定理基本应用例1.(2015高考广东，理11】设AABC的内角A.B.C的对边分别为a , b , c ,若"=J5, sin B =— > C =—,则b =・2 6例2. «m=i,则万等于。
ac例3・[2015髙考天津，理13】在AABC中，内角A.B.C所对的边分别为a.b.c ,已知MBC的而积为3皿，b — c = 2.cosA =—丄，则。
的值为.4例4•在AABC 中，sin(C-A)=l , sin出求sinA二。
3例5・[2015高考北京，理12】在ZL4BC中，t/ = 4, b = 5, c = 6,则巴33 = sinC例&若△ ABC的三个内角满足sin A: sin B: sin C = 5:11:13»则厶ABC(A) 一建是锐角三角形. (B) 一進是直角三角形.(C) 一泄是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.变：在AABC中，若sinA:sinB:sinC = 3:5:7,则角C的度数为I例7. A ABC的三个内角满则A:B:C=1:2:3则a：b:c=3 5例8.设AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b、c ,且cosA = — , cosB = —,b = 3则。
=5 13类型四：与正弦有关的解的个数思路二：利用大边对大角进行筛选例1：在△磁中，bsinA<a<b,则此三角形有扎一解B.两解 C.无解D.不确定例2：在MBC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【】A、a = 7, b = 14, A = 30°；B、b = 25,c = 30, C = 150°；C、b = 4, c = 5, B= 30°:D、a= V6 » b =羽,B = 60°。
例3：在AABC中，a = 2,^ = V3/lU>0),ZA = 45\则满足此条件的三角形有几个？类型五：与A + B + C = /?■有关的问题例1：在△磁中，sinJ=2cos5sinC则三角形为 _______________ .变：在中，已知sinC = 2sin(B + C)cosB,那么△ ABC —定是。
例2：在AABC中，角A, B,C对应的边分别是“，b,c.已知cos2A-3cos(B + C)= 1.(I)求角A的大小；(II)若\ABC的面积S = 5y/3, b = 5，求sin B sin C 的值.例3:△磁的内角岀B, C的对边分别为a, b, c.已知3acos *2<?cos A. tan 求4B.例4：在Z\ABC 中，a, b, c 分别为内角扎 B, C 的对边，且 2asinA = (2b+c)sinB+ (2c+b)sinC (I )求A 的大小：(II)求sinB + sinC 的最大值.类型六：边化角，角化边注意点:①换完第一步观察是否可以约分，能约分先约分②怎么区分边化角还是角化边呢若两边都是正弦首先考虑角化边，若sin, cos 都存在时首先 考虑边化角例1:在Z\ABC 中，角A, B.C 所对的边分别为a,b,c,且满足csinA 二acosC.(I )求角C 的大小：例 3. AABC 中，sin ：J=sin ：5rsin =C 则△遊为扎直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 例4： (2011 •全国)△遊的内角么B 、Q 的对边分别为a 、b 、c, asin 月+csin Q —住asin C=bsin B.⑴求5(2)若 A=75° , b=2、求 a, c.例5 : ( 2016年四川高考)在△磁中，角A,B, C 所对的边分别是a, b, c,且 cos A cos B sin C ------ + ----- = ------ .a b c(I)证明：sin Asin B = sin C:( II )若b 2 +c 2-a 2 = -be,求 tanB.例6:(2016年浙江髙考)在△月證中，内角A.B. Q 所对的边分别为a, b, c.已知Mc=2acos5, (I) 证明：A=2B ；2(II) 若Z\ABC 的而积S=—9求角yf 的大小.例2在△磁中，内角儿B, Q 所对的边分别是a,为 b, c.若 3a=2b,则 2sin£—sirfE sin :J 的值例7： MBC 的内角A, B, C 所对的边分别为a.b. c ・（I ）若％ c 成等差数列，证明:sinA + sinC = 2sin （A + C ）:（II ）若心b, c 成等比数列，求cosB 的最小值.Y类型七：面积问题面积公式：例1：设△ABC 的内角A.B.C 所对边的长分別是a 、b 、c ,且b 二3, c 二1,A ABC 的而积为近求cosA 与a 的值；例2：在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为agB 上,cos A = -,/? = ^3 0（I ）求sinC 的值：（1【）求AABC 的而积.例3： AABC 的内角A, B , C 所对的边分别为a, b , c ・向呈fh = ’i 疋b )与 n = (cos A.sinB)平彳亍.(I)求A ：(II)若a = yfl . b = 2 求 AABC 的而积例5： （2013・浙江）在锐角ZkABC 中，内角A ・B. C 的对边分别为/ b, c,且2asinB=V3b ・ （I ）求角A 的大小；（II ）若沪6, b+c 二8,求ZXABC 的而积.例6： （2016年全国I 高考）zMBC 的内角A, B, Q 的对边分别为a, b, c,已知2 cos C （acosB + hcosA ） = c ・(I)求 G例4・在AABC 中，角A,B,C 所对的边分别为a,b,c 且满足⑴求AABC 的面积；（2）若c=l,求a 的值. cos A_2 75 T — • AB AC=3.（II）若“據△遊的而积为寺，求A^C的周长.题型八：图形问题例1：如图所示，货轮在海上以40 hn/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在万点观测灯塔月的方位角为110° •航行半小时后船到达Q点，观测灯塔月的方位角是65° ,则货轮到达C点时，与灯塔月的距离是多少例2・[2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶Q在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75。
的方向上，仰角为30。
,则此山的高度CD= m.正弦定理、余弦定理水平测试题一.选择题1.在△磁中，角人B、Q的对边分别为心b、6若—则角万的值为2.已知锐角△磁的面积为3羽，BC=\> CA=3.则角Q的大小为A. 75° B・60° C. 45° D. 30°3.（2010 •上海髙考）若△遊的三个内角满足sin J： sin 5： sin C=5 : 11 : 13.则△遊A. 一泄是锐角三角形B. —定是直角三角形C.一定是钝角三角形D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为5.（2010 •湖南髙考）在△磁中，角丛B, Q所对的边长分别为a, b, 6若ZC=120° , c=£a,则（）A. a>bB・a<bC・a=W・a与&大小不能确左二、填空题6.△遊中，a、b、c分别是角月、B、Q所对的边，已知a=© 6=3, C=30° ,则川=7.（2010 •山东髙考）在△磁中，角A, B. Q所对的边分別为a, b、c•若a=£, 6=2,sin 5+cos B=©则角兔的大小为 _______________ ・8.已知△磁的三个内角川，B, C成等差数列，且AB=1, BC=4,则边證上的中线初的长为 ________ •三、解答题9.△磁中，内角小B、Q的对边长分别为a、b、c■若a-c=2b.且sin5=4cos Asin C. 求b.10.在△磁中，已知/ + £ = £+ab（1）求角C的大小：3（2）又若sin Asin B=^判断△/!兀的形状.11.（2010 •浙江髙考）在△磁中，角儿B、Q所对的边分别为a, b. 6设8为厶诚的而积，且5=申■（a：+y—£）.（1）求角Q的大小：（2）求sin 川+sin万的最大值.12.[2015高考新课标2,理17】（本题满分12分）\ABC中，D是BC上的点、,AD平分ZBAC,而积是AADC而积的2倍. （I）求空口：sin ZC（II）若AD = 1, DC = — ,求〃D和AC 的长.2。