例 4、（2016 年上海）已知 ABC 的三边长分别为 3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于
______
类型二：余弦定理
1、 判断三角形形状：锐角、直角、钝角
在△ABC 中， 若 a2 b2 c2 ，则角 C 是直角； 若 a2 b2 c2 ，则角 C 是钝角； 若 a2 b2 c2 ，则角 C 是锐角． 例 1、在△ABC 中，若 a9,b10,c12,则△ABC 的形状是_________。
b cos B
2）若 a cos B ，试确定 ABC 形状。 b cos A
4）在 ABC 中，已知 a 2 tan B b 2 tan A ，试判断三角形的形状。 5）已知在 ABC 中， b sin B c sin C ，且 sin 2 A sin 2 B sin 2 C ，试判断三角形的形状。
例 4、在△ABC 中，已知 a=7,b=3,c=5，求最大的角和 sinC?
3、余弦公式直接应用 例 5、：在 ABC 中，若 a2 b2 c2 bc ，求角 A．
例 6、：(2013 重庆理 20)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c， 且 a2＋b2＋ 2 ab＝c2. (1)求 C；
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解三角形题型分类解析
类型一：正弦定理 1、计算问题： 例 1、（2013•北京）在△ABC 中，a=3，b=5，sinA= ，则 sinB=_________
例 2、已知 ABC 中， A 60 ， a 3 ，则
例 6：（2016 年全国 I 高考）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2 cos C(a cos B +b cos A) c.
（I）求 C；
（II）若 c 7,△ABC 的面积为 3 3 ，求△ABC 的周长． 2
题型八：图形问题 例 1：如图所示，货轮在海上以 40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标
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6．△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 所对的边，已知 a＝ 3，b＝3，C＝30°，则 A＝ 7．(2010·山东高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 2，b＝2，sin B＋cos B＝ 2，则角 A 的大小为________． 8．已知△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且 AB＝1，BC＝4，则边 BC 上的中线 AD 的长为________． 三、解答题 9．△ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c.若 a2－c2＝2b，且 sin B＝4cos Asin C，求 b.
例 2:在 ABC 中,角 A , B , C 对应的边分别是 a , b , c .已知 cos 2 A 3cos B C 1.
(I)求角 A 的大小; (II)若 ABC 的面积 S 5 3 , b 5 ,求 sin B sin C 的值.
1 例 3:△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 3acos C＝2ccos A，tan A＝3，求 B.
abc
=．
sin A sin B sin C
例 3、在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2asinB= b． 求角 A 的大小；
2、三角形形状问题
例 3、在 ABC 中，已知 a, b, c 分别为角 A，B，C 的对边， 1) a cos A 试确定 ABC 形状。
A.一解B.两解 C.无解 D.不确定
例 2：在 ABC 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是【 】
A、 a 7 ， b 14 ， A 30 ；
B、 b 25 ， c 30 ， C 150 ；
C、 b 4 ， c 5 ， B 30 ；
D、 a 6 ， b 3 ， B 60 。
例4:在△ABC中，a,
b,
c分别为内角A,
B,
C的对边，且
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2asinA (2b c)sinB (2c b)sinC （Ⅰ）求 A 的大小；（Ⅱ）求 sin B sin C 的最大值.
2sin2B－sin2A
例 2 在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.若 3a＝2b，则 sin2A 的 值为
例 3.△ABC 中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC 为
A.直角三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形
例 4：(2011·全国)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，asin A＋csin C－ 2asin C＝bsin B.
例 2.【2015 高考湖北，理 13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处 时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在 西偏北 75 的方向上，仰角为 30 ，则此山的高度 CD m.
正弦定理、余弦定理水平测试题
一、选择题 1．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2＋c2－b2＝ 3ac，则角 B 的值为
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（A）一定是锐角三角形.
（B）一定是直角三角形.
（C）一定是钝角三角形.
(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
变：在 ABC 中，若 sin A : sin B : sin C 3 : 5 : 7 ，则角 C 的度数为
（II）若 a，b，c 成等比数列，求 cos B 的最小值.
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类型七：面积问题 面积公式： 例 1：设 A ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别是 a, b, c ，且 b=3，c=1， △ABC 的面积为 2 求 cosA 与 a 的值；
例 7、设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c . 若 (a b c)(a b c) ab ， 则角 C
例 8、（2016 年北京高考） 在 ABC 中， a2 c2 b2 2ac . （1）求 B 的大小； （2）求 2 cos A cos C 的最大值.
4
1
例 4.在△ABC 中，sin(C-A)=1 , sinB= ，求 sinA=。
3
例 5.【2015 高考北京，理 12】在 △ABC 中， a 4 ， b 5 ， c 6 ，则 sin 2A
．
sin C
例 6.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C 5 :11:13 ，则△ ABC
π π π 5π π 2π A.6B.3C.6或 6 D.3或 3 2．已知锐角△ABC 的面积为 3 3，BC＝4，CA＝3，则角 C 的大小为 A．75° B．60° C．45°D．30° 3．(2010·上海高考)若△ABC 的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 4．如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的余弦值为 5 3 37 A.18B.4C. 2 D.8 5．(2010·湖南高考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别为 a，b，c，若∠C＝120°， c＝ 2a，则( ) A．a＞bB．a＜bC．a＝bD．a 与 b 大小不能确定 二、填空题
例 7.△ ABC 的三个内角满则 A:B:C=1:2:3 则 a:b:c=.
例 8.设 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，且 cos A 3 ， cos B 5 , b 3 则
5
13
c
类型四：与正弦有关的解的个数 思路二：利用大边对大角进行筛选 例 1：在△ABC 中，bsinA＜a＜b，则此三角形有
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方向线的水平转角)为 140°的方向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110°，航行半小时后船到达 C 点，观测灯塔 A 的方位角是 65°，则货轮到达 C 点时，与灯 塔 A 的距离是多少？
例 4．在 ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且满足
(1)求△ABC 的面积；(2)若 c＝1，求 a 的值．
例 5：（2013•浙江）在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2asinB= b．
（Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 a=6，b+c=8，求△ABC 的面积．
例 6：（2016 年浙江高考）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. b+c=2acosB. （I）证明：A=2B；
a2 （I）若△ABC 的面积 S = ，求角 A 的大小.
4
已知
例 7： ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c .
（I）若 a，b，c 成等差数列，证明： sin A sin C 2sinA C ；