《解三角形》知识点、题型与方法归纳
一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）
1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）
变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R
===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（）
sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C
=== 2．正弦定理适用情况：
（1）已知两角及任一边；
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.
3．余弦定理及其推论
2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+-
222
222
222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab
+-=
+-=+-= 4．余弦定理适用情况：
（1）已知两边及夹角； （2）已知三边.
注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.
5．常用的三角形面积公式
（1）高底⨯⨯=
∆2
1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R
===∆为外接圆半径 （两边夹一角）； 6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）
（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）
（3）在ABC ∆中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22
A B C += 7．实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α（如图②）
注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）
如： ①北偏东αo 即由指北方向顺时针旋转αo 到达目标方向；
②“东北方向”表示北偏东（或东偏北）45︒.
（4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）
二、题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★） 考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用
1．在ABC V 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝ ( )
A ．4 3
B ．2 3
C ． 3
D ．32
2．在ABC V 中，2223a b c bc =+，则A ∠等于( )
A ．60°
B ．45°
C ．120°
D ．150° 考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状
3．设ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC V 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
4．若△ABC 的三个内角满足7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则△ABC ( )
A ．一定是锐角三角形
B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
5．在ABC ∆中，若cos A cos B ＝b a
，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
6．在ABC ∆中，AB =1AC =,30A ︒∠=，则ABC ∆面积为( )
A ． 2
B ．4
C ．2
D ．4或2
7．已知ABC ∆的三边长3,5,6a b c ===，则ABC ∆的面积为( )
A ．
B ．
C
D ．
8．在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于( )
A ．12π
B ．6π
C ．4π
D ．3
π 9．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有 ( )
A ．无解
B ．两解
C ．一解
D ．解的个数不确定
10．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b +=且a b >,则B ∠= ( )
A ．6π
B ．3
π C ．2π D ．5π
11．如图：A ，B 是海面上位于东西方向相距(53海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45︒，B 点
北偏西60︒的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60︒且与B 点相距C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为每小时30海里，该救援船到达D 点需要多长时间？ 三、高考真题赏析
1．（2016年山东）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A
+=
+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值.
2．（2016年四川）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且
cos cos sin A B C a b c +=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；
（II ）若22265
b c a bc +-=
，求tan B .
3．（2016年全国I ）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =
（I ）求C ；
（II ）若c ABC △=的面积为2
，求ABC △的周长．
4．(2015高考新课标2)
ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍． (Ⅰ) 求sin sin B C ∠∠； (Ⅱ)若1AD =，22DC =，求BD 和AC 的长．
5．（2015高考四川，理19） 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角.
（1）证明：1cos tan ;2sin A A A
-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====o 求tan
tan tan tan 2222
A B C D +++的值. A B C
D
6．（2013级绵阳一诊，19）已知如图，在Rt ABC ∆中，60A ︒∠=，6AB =，
点D 、E 是斜边AB 上两点． (I)当点D 是线段AB 靠近A 的一个三等分点时，求CD CA ⋅u u u r u u u r 的值； (II)当点D E 、在线段AB 上运动时，且30DCE ︒∠=，设ACD θ∠=，试用θ表示DCE ∆的面积S ，并求S 的取值范围．。