解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳
一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）
1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）
变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R
===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（）
sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C
=== 2．正弦定理适用情况：
（1）已知两角及任一边；
（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.
3．余弦定理及其推论
2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A
b a
c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222
222222
cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab
+-=+-=+-= 4．余弦定理适用情况：
（1）已知两边及夹角； （2）已知三边.
注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.
5．常用的三角形面积公式
（1）高底⨯⨯=∆2
1ABC S ； （2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R
===∆为外接圆半径 （两边夹一角）；
6．三角形中常用结论 （1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）
（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）
（3）在ABC ∆中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-；
③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22
A B C += 7．实际问题中的常用角
（1）仰角和俯角
C ．一定是钝角三角形
D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
5．在ABC ∆中，若cos A cos B ＝b a
，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 考点三：利用正余弦定理求三角形的面积
6．在ABC ∆中，3AB =1AC =,30A ︒∠=，则ABC ∆面积为( )
A ． 3
B 3
C 33
D 33 7．已知ABC ∆的三边长3,5,6a b c ===，则ABC ∆的面积为( )
A ． 14
B ．214
C 15
D ．215考点四：利用正余弦定理求角
8．在锐角中,角所对的边长分别为.若( )
A ．
B ．
C ．
D ． 9．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有 ( )
A ．无解
B ．两解
C ．一解
D ．解的个数不确定
10．在,内角所对的边长分别为且,则 ( )
A ．
B ．
C ．
D ． 考点五：正余弦定理实际应用问题
11．如图：A ，B 是海面上位于东西方向相距(533海里的
两个观测点，现位于A 点北偏东45︒，B 点北偏西60︒
的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60︒且与B
点相距203C 点的救援船立即前往营救，其航行ABC ∆,A B ,a b 2sin 3,a B b A =则角等于12π6π4π3
πABC ∆,,A B C ,,.a b c 1sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b +=a b >B ∠=6ππ2π5π
速度为每小时30海里，该救援船到达D 点需要多长时间？
三、高考真题赏析
1．（2016年山东）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分
别为a ，b ，c ，已知 （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值.
2．（2016年四川）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别
是a ,b ,c ,且cos cos sin A B C a b c
+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =；
（II ）若22265b
c a bc +-=，求tan B .
tan tan 2(tan tan ).cos cos A B A B B A
+=+
3．（2016年全国I）ABC
△的内角A，B，C的对边分别为
a，b，c，已知2cos(cos cos).
C a B+b A c
=
（I）求C；
（II）若7,
c ABC
△
=33，求ABC
△的周长．
4．(2015高考新课标2)
ABC
∆中，D是BC上的点，AD平分BAC
∠，ABD
∆面积是ADC
∆
面积的2倍．
(Ⅰ) 求sin sin B C ∠∠； (Ⅱ)若1AD =，22
DC =，求BD 和AC 的长．
5．（2015高考四川，理19） 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角.
（1）证明：1cos tan ;2sin A A A
-= （2）若180,6,3,4,5,A C AB BC CD AD +=====求tan tan tan tan 2222
A B C D +++的值.
A B C
6．（2013级绵阳一诊，19）已知如图，在Rt ABC ∆中，60A ︒∠=，6AB =，
点D 、E 是斜边AB 上两点．
(I)当点D 是线段AB 靠近A 的一个三等分点时，求CD CA ⋅的值； (II)当点D E 、在线段AB 上运动时，且30DCE ︒∠=，设ACD θ∠=，试用θ表示DCE ∆的面积S ，并求S 的取值范围．。