常微分方程及空间解析几何单元测试题（考试时间：150分钟）一、填空题：（每小题3分，合计15分）1．设有一个一阶微分方程的通解为22222()()x y C x y +=-，则该方程为 ． 2．方程(4)20y y y '''''-+=的通解为 ．3．设2()(sin 2,,cos2)r t t t t = ，则(0)r ''=． 4．如果直线λ12111:1-=+=-z y x L 与直线11111:2zy x L =-=+相交，那么常数λ的值为 ．5．已知三向量,,a b c 两两互相垂直，且1,,1==a b c ，则向量=+-s a b c 的模等于 ．二、选择题：（每小题3分，合计15分）１．方程22x y y xe '''-=的一个特解具有形式（ ）．（A ）2()x x Ax B e + （B ）2xAxe （C ）22xAx e （D ）2()x Ax B e +2．已知123,,y y y 为方程12()()()y a x y a x y f x '''++=的三个线性无关的特解，123,,C C C 均为任意常数，则该方程的通解为（ ）．（A ）1122C y C y +（B ）112233C y C y C y ++（C ）11223C y C y y ++（D ）1122132()()C y y C y y y -+-+3．已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21y xy xα∆∆=++，且当0x ∆→时，α是x ∆的高阶无穷小，(0)y π=，则(1)y 等于（ ）．（A ）2π （B ）4e π（C ）4e ππ （D ）π 4．设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020123:z y x z y x L 及平面0224:=-+-z y x π，则直线L （ ）（A ）平行于π， （B ）在π上， （C ）垂直于π， （D ）与π斜交．5．方程122222=-+czb y a x 代表的曲面是（ ）．(A)单叶双曲面 (B)椭圆抛物面 (C)双叶双曲面 (D)椭圆柱面三、计算题：（每小题５分，合计30分）1．设1,(,)6a b a b π=== ，求以2a b + 与a b + 为邻边的平行四边形的面积．２.求直线102320x y z x y z +++=⎧⎨-++=⎩的对称式方程和参数方程．3．求微分方程ln d (ln )d 0x x y y x x +-=满足条件1x e y ==的特解． 4．求解微分方程220y ny k y '''++=，其中,n k 为正常数． 5．设0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰，其中()f x 为连续函数，试求()f x ．６.动点M 到点0(0,0,5)M 的距离等于它到YOZ 面的距离的2倍，求动点M 的轨迹方程，并说明动点轨迹是什么曲面．四、（8分）求由1y x ,y x z =++=与0z =所围立体在三个坐标平面上的投影．五、（8分）设1y x =，22x y x e =+，23(1)x y x e =+是二阶常系数线性非齐次方程的特解，求该方程的通解及该方程． 六、（8分）某种飞机在机场降落时，为了减少滑动距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大压力，使得飞机减速并停下。
现有一质量为9000kg 的飞机，着陆时的水平速度为700km/h 。
经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为56.010k =⨯）。
问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？七、（8分）已知曲线()(0)y f x x =>是微分方程2(46)x y y y x e -'''+-=-的一条积分曲线，此曲线通过原点且在原点处的切线的斜率为0，试求曲线()y f x =到x 轴的最大距离．八、（8分）已知直线220:10x y L y z +-=⎧⎨-+=⎩和平面:10x y z π++-=，求（1）直线L 在平面π上的投影L '； （2）L 和L '的夹角θ．常微分方程与空间解析几何单元测试题参考答案一、填空题：（每小题3分，合计15分）1．2222(3)(3)x y yy y x x '-=- 2．1234x x y C C x C e C xe =+++ 3．(0,2,4)- 4．455． 2 二、选择题：（每小题3分，合计15分）1． A 2．D 3．C 4．D 5．B 三、计算题：（每小题5分，合计30分）1．23),sin(|||||||)()2(|==⨯=+⨯+=b a a b a b b a b a S．（5分）2．解：取01x =-代入直线方程，得000y z ==，即求得直线上的一个点0(1,0,0)M -，（1分） 由于两个平面的交线与这两个平面的法向量12(1,1,1),(2,1,3)n n ==-都垂直，所以可以取12111(4,1,3)213i j ks n n =⨯==---（3分）因此，所给直线的对称式方程为1413x y z+==-- （4分） 参数方程为143x t y tz t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（5分） 3．解：将原方程化为11ln y y x x x'+= 这是个一阶非齐次线性方程，利用公式求得其通解为1ln 2ln Cy x x=+（4分）代入初始条件，得12C =， 故所求特解为11(ln )2ln y x x =+．（5分）4．解：特征方程为2220r nr k ++=，其根为1,2r n =-（2分）分三种情况讨论：（1）n k >，特征方程为两不同实根，解为12()nx y e C C e -=⋅+．（3分）（2）n k =，特征方程为两相同实根，解为 12()nx y C C x e -=+．（4分）（3）n k <，特征方程为一对共轭复根，解为12()nx y e C C -=⋅+．（5分）5．解：由已知，有0()sin ()()xxf x x xf t dt tf t dt =-+⎰⎰，两边同时求导，得()cos ()xf x x f t dt '=-⎰，继续求导，得()()sin f x f x x ''+=-，且(0)0,(0)1f f '==．（2分）二阶方程对应的齐次方程的特征方程为210r +=，所以特征根为1,2r i =±．（3分） 令非齐次方程的特解为：*(cos sin )y x a x b x =+，代入原方程得1,02a b ==，所以原方程的通解为： 121cos sin cos 2y C x C x x x =++， （4分） 代入初始条件，得最终结果为1()(sin cos )2f x x x x =+．（5分） 6. 解：设动点(,,)M x y z，则0||MM =M 到yOz 平面的距离d x =由02MM d =，得2223(5)0x y z ---=．（4分） 曲面为锥面。
（5分） 四、（8分） 解：由1y x ,y x z =++=与0z =所围立体，其中xoy 坐标平面上的投影为圆盘：⎩⎨⎧=≤+0122z y x （3分） 在yoz 坐标面上的投影为矩形ABCD 区域，即：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤-=10110z y x （6分）类似地，其在zox 坐标平面上的投影为矩形区域：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=≤≤-10011z y x （8分）五、（8分）解：设所求方程为()y ay by f x '''++=，对应的齐次方程为0y ay by '''++=。
由线性微分方程解的结构可知222131,x x y y e y y xe -=-=是齐次方程的解，且线性无关．（2分）所以齐次方程的通解可以写成212()x y C C x e =+，非齐次的通解为212()x y C C x e x =++。
（4分） 由齐次方程的通解可知2r =是对应的特征方程的二重根，因此有4,4a b =-=，从而方程可以写成44()y y f x '''-+=。
因为1y x =是该方程的解，代入比较两端可以得到()4(1)f x x =-，所以原方程为444(1)y y x '''-+=-．（8分）六、（8分）解：根据牛顿第二定律，有dv m kv dt =-，（2分）又dv kdt v m=-，两端积分得通解为kt m v Ce -=．（4分）代入初始条件00|t v v ==，解得0C v =，所以0()kt mv t v e-=．（6分）飞机滑行的最长距离为()10.5k t mmv mv x v t dt e kk+∞-+∞==-==⎰（km ）．（8分） 七、（8分）解：微分方程的特征方程为2210r r +-=，所以特征根为1211,2r r =-=，对应齐次方程的通解为1212x xy C e C e -=+．（2分）设非齐次方程的特解为*()xy x Ax B e -=+，代入原方程得1,0A B ==，所以2*x y x e -=，（4分）微分方程的通解为12212x xx y C e C e x e --=++．代入初始条件(0)0,(0)0y y '==，得120C C ==，所以曲线为2x y x e -=．（6分） 由2202x x y xe x e x --'=-=⇒=为驻点，22()222,(2)20x x x x f x e xe xe x e f e -----''''=--+=-<，所以222max ()|4x x f x x e e --===。
（到x 轴的最大距离）．（8分）八、（8分）解：（1）设l '是平面π和π'的交线，其中π'是过直线l 并垂直于π的平面，可设0)1()22(:=+-+-+'z y y x μλπ，即02)2(=+--++μλμμλλz y xπ'的法向量为：),2,(μμλλ-+='n ，π的法向量为：)1,1,1(=n，由ππ⊥'有：1,00==⇒=⋅'μλn n得平面π'的方程为：01:=+-'z y π 所以l '的方程为⎩⎨⎧=-++=+-0101z y x z y （5分）（2）l 的方向向量为 )1,1,2(110021-=-=kj i sl '的方向向量为 )1,1,2(111110--=-='kj i s166|114|||||cos =⋅---='⋅'⋅=s s s s θ （8分）。