M0M1 // M0M2
t1 = 0, t2 = 2 M1 = (0, 0, −1), M2 = (2, 2, 3)
x −1 y −1 z −1 L: = = 1 1 2
M1(t1 , 2t1 ,t1 −1),
L 1 M1
L2
M0
M2
L
M2 (t2 ,3t2 − 4, 2t2 −1)
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x−x y− y z −z 直线: = = , s = (m, n, p) m n p m n p = = 垂直：s ×n = 0 A B C 平行： s ⋅n = 0
s⋅ n 夹角公式： sinϕ = s n
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3. 相关的几个问题 (1) 过直线
A x + B y + C1z + D = 0 1 1 L: 1 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 的平面束 方程 λ1( A x + B1y + C1z + D ) 1 1 +λ2 ( A2x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0
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思考与练习
P50 题21 画出下列各曲面所围图形: x y z 2 (1) 抛 柱 2y = x, 平 z = 0及 + + =1 物 面 面 ; 4 2 2
2 2 2
(2) 抛 柱 x2 =1− z, 平 y = 0, z = 0 及 x + y =1 物 面 面 ;
(4) 旋 抛 面 x + y = z, 柱 y = x, 平 z = 0 转 物 面 面
s = ( m, n, p) 为直线的方向向量.
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2.线面之间的相互关系 . 面与面的关系 平面 平面 Π2 : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0, n2 = ( A2 , B2 , C2 ) 垂直: 平行: n1 ×n2 = 0
n1 ⋅ n2 夹角公式: cosϕ = n1 n2
A A2 + B B2 + C1C2 = 0 1 1 A B C1 1 = 1= A2 B2 C2
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线与线的关系
x 直线 L ： − x1 = y − y1 = z − z1 , s = (m , n , p ) 1 1 1 1 1 m n1 p1 1 x − x2 y − y2 z − z2 = = , s2 = (m2 , n2 , p2 ) 直线 L2： m2 n2 p2
其法向量为 n1 = (1+ λ , 5, 1− λ). 已知平面的法向量为 n = (1, − 4, − 8)
π n⋅ n1 选择 λ 使 cos = 4 n n1
从而得所求平面方程
3 λ =− 4 x + 20y + 7z −12 = 0.
x − z + 4 = 0.
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例5. 求过点
O x P(x,0,0)
y
Q(0, y,0)
A(x, y,0)
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例6.直线 曲面的方程. 提示: 提示 在 L 上任取一点
绕 z 轴旋转一周, 求此旋转
旋转轨迹上任一点, 则有
= y0
x2 + y2
得旋转曲面方程
z
r r
L
M
M0
y
O
1 x
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x2 + y2 − z2 =1
且与两直线 都相交的直线 L.
L2
提示: 提示 思路: 先求交点 M1 , M2 ; 再写直线方程. 的方程化为参数方程
L 1 M1
M0
M2
L
设 L 与它们的交点分别为
M1(t1 , 2t1 , t1 −1),
M2 (t2 , 3t2 − 4, 2t2 −1) .
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M0 , M1 , M2 三点共线
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从而所求直线的方程为
即
过点 方向向量
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例2 求过点 的平面方程. 的平面方程 解：已知点 直线上的点
且通过直线
，直线方向向量 ，向量
所求平面的法向量 于是可取 所求平面方程为 即
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2x − z = 0 例3. 设一平面平行于已知直线 x + y − z + 5 = 0 且垂直于已知平面 7x − y + 4z − 3 = 0, 求该平面法线的 的方向余弦. 提示: 提示 已知平面的法向量 n1 = (7, −1, 4) 求出已知直线的方向向量
及 x =1.
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解答: 解答 P50 题21(1)
z
2
2y2 = x x y z + + =1 4 2 2 z =0 (8, − 2, 0)
z
O
O
x
4
(2,1, 0)
yxy目录 Nhomakorabea上页
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z 1
P50 21 (2)
−1 1 x
O
x =1− z xOz面 y =0 xOy面 z =0 x + y =1
( λ 1 , λ 2 不全为0 )
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(2)点 M0 (x0, y0, z0 ) 到平面 Π ：A x+B y+C z+D = 0 的距离为
M0
d
r n
Π
M1
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(3) 点
到直线
M0 (x0 , y0 , z0 )
的距离为 d
M0M1 × s d= s
s = (m, n, p) ϕ M1(x1, y1, z1)
取所求平面的法向量
i j k n = s × n1 = 1 1 2 = 2(3, 5, − 4) 7 −1 4 3 5 −4 , cos β = 所求为 cosα = , cosγ = 50 50 50
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x + 5y + z = 0 且与平面 x − 4y − 8z 例4. 求过直线 L : x−z +4=0 +12 = 0 夹成 角的平面方程. π 4 n n1 提示: 提示 过直线 L 的平面束方程
在直角坐标系下
→ → 点 M ← 有序数组 (x, y, z) ← 向径 r (称为点 M 的坐标 坐标) 坐标
1−−1
1−−1
点 M 到坐标轴的距离：
dx = y2 + z2
z
R(0,0, z)
C(x,0, z)
B(0, y, z)
dy = x2 + z2
r
M
dz = x + y
2
2
垂直: 平行: s1 ×s2 = 0
s1 ⋅ s2 夹角公式: cosϕ = s1 s2
m m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 1 m n1 p1 1 = = m 2 n 2 p2
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面与线间的关系 平面: Ax + By + Cz + D = 0, n = ( A, B, C)
习题课 空间解析几何
一、内容小结 二、实例分析
第八章 八
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一、内容小结
1. 空间直线与平面的方程 空间平面 一般式 点法式 截距式
x y z + + =1 a b c
x − x1 x2 − x1 x3 − x1
点: (x0 , y0 , z0 ) 法 量: n = ( A, B, C) 向
三点式
y − y1 z − z1 y2 − y1 z2 − z1 = 0 y3 − y1 z3 − z1
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空间直线
1 1 1 一般式 A x + B y + C1z + D = 0 A x + B y + C z + D = 0 2 2 2 2
对称式
x = x0 + mt 参数式 y = y0 + nt z = z0 + pt (x0 , y0 , z0 ) 为直线上一点;
i j k x1 − x0 y1 − y0 z1 − z0
=
1 m2 + n2 + p2
m
n
p
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二、实例分析
例1 求过点 平面 ，垂直于直线 的直线方程。 的直线方程。 ，已知直线 的方向 且平行于
解：设所求直线 的方向向量 向量 已知 ，
,已知平面 的法向量为 已知平面 所以， ，所以， ，故可取
2
1
y
z
1 −1 1
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1
O
x
y
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P50 21(4)
z
(1,−1)
x
y2 = x
O 1
y
(1,1)
x2 + y2 = z
x =1 z =0
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