第三章 微分中值定理与导数的应用一、判断题1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。

（ ）2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。

（ ）3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。

（ ） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。

（ ） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使'()0f ξ=。

（ ） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。

（ ） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。

（ ） 8. arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=∈-。

（ ） 9. arctan arctan ,(,)2x x x π+=∈-∞+∞。

（ ） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。

（ ） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。

（ ） 12. ''222(2)lim lim21(21)x x x x x x →→=--（ ）13. 22'0011limlim()sin sin x x x x e e x x→→--= （ ） 14. 若'()0f x >则()0f x >。

（ ）15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。

（ ） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。

（ ） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。

（ ）18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。

（ ） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。

（ ） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。

（ ） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。

（ ）22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。

（ ）23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。

（ ） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。

（ ） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。

（ ）26. 3()f x x =在0x =处有(0)0f '=，所以0x =是()f x 的极值点。

（ ） 27. 若00(,())x f x 为曲线()y f x =的拐点，则必有''0()0f x =。

（ ） 28. 若''0()0f x =，则00(,())x f x 必为函数曲线()y f x =的拐点。

（ ）29. 若在I 上，曲线总在它每一点的切线上方，则曲线在I 上是凹的。

（ ） 30. 曲线4263y x x x =-+在区间（0,1）内是凸的。

（ ） 31. 曲线2ln(1)y x =-的图形处处是凹的。

（ ） 32. 曲线3x y xe -=的拐点0x =。

（ ） 33. 曲线3y x =在(,0]-∞内是凸的，在[0,)+∞内是凹的。

（ ） 34. 曲线ln xy x=有水平渐近线0y =。

（ ）二、选择题1. 若()f x 在(,)a b 内可导，12,x x 是(,)a b 内任意两点，且12x x <，则至少存在一点ξ使（ ）A.'()()()()f b f a f b a ξ-=-，其中a b ξ<<B.'11()()()()f b f x f b x ξ-=-，其中x b ξ<<C.'1221()()()()f x f x f x x ξ-=-，其中12x x ξ<<D.'22()()()()f x f a f x a ξ-=-，其中2a x ξ<<2. 函数3()3x f x x =-在(满足罗尔定理条件的ξ等于（ ）A.-1B.0C.1 3. 函数2()23f x x x =+-在()1,2-满足拉格朗日中值定理条件的ξ等于（ ）A.12B.0C.1D.12-4. 函数(1)y x x =-在区间(0,1)内满足罗尔定理的ξ=（ ）A.0B.13C.12D.1 5. 下列各式中正确运用洛必达法则求极限的是 （ ）A.000sin cos sin lim lim lim 1x x x x x x x x x e e e →→→-==-B.sin lim lim(1cos )x x x x x x→∞→∞+=+不存在 C.232000011sin cos sin cos sin 1lim cot lim lim lim sin 33x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→--⎛⎫-==== ⎪⎝⎭D.22001limlim 1sin cos x xx x e e x x→→-== 6. 函数2()1xf x x=+ （ ）A.在R 上单调减少B.在R 上单调增加C.在(1,1)-上单调减少D.在(1,1)-上单调增加 7. ()ln f x x x =，则（ ）A.在1(0,)e内单调增加B.在1(,)e+∞内单调增加C.在(0,)+∞内单调减少D.在(0,)+∞内单调增加8. 函数2()x f x x e -=（ ）A.没有极值B.既有极大值也有极小值C.只有极大值D.只有极小值 9. 若在区间(,)a b 内函数'(0)0f >，''(0)0f <则()f x 在(,)a b 内（ ）A.单调递减且凹的B.单调增加且凸的C.单调增加且凹的D.单调递减且凸的10. 若()()f x f x -=，(,)x ∈-∞+∞，在(,0)-∞内'()0f x >，()0f x ''<，则()f x 在(0,)+∞内有（ ）A. '()0f x >，()0f x ''<B. '()0f x >，()0f x ''>C. '()0f x <，()0f x ''<D. '()0f x <，()0f x ''>11. 要使点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点则,a b 值应为（ ）A.93,22a b ==-B.39a ,22b =-= C.3,6a b =-= D. 2,1a b ==12. 点(1,2)是曲线23y ax bx =+的拐点，则（ ）A.0,2a b ==B.1,1a b ==C.2,0a b ==D.3,1a b ==- 13. 曲线23()3f x x x =-在（ ）A.在(,1)-∞内是凸的，(1,)+∞内是凹的B.在(1,)+∞内是凸的，(,1)-∞内是凹的C.在(,0)-∞内是凸的，(0,)+∞内是凹的D.在(0,)+∞内是凸的，(,0)-∞内是凹的14. 2是函数32362y x x x =-+-在[1,1]-上的（ ）A.极大值B.极小值C.最大值D.最小值15. 函数3229121y x x x =-++在[]0,2上的最大值点与最小值点分别是（ ）A.1，0B.1，2C.2，0D.2，116. 设'()(1)(21),(,)f x x x x =-+∈-∞+∞则在1(,1)2内曲线()f x 单调（ ）A.递增凹的B.递减凹的C.递增凸的D.递减凸的17. 当0x >，则曲线1sin y x x=（ ）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线D.既没有水平又没有垂直渐近线18. 曲线2211x x e y e--+=- （ ）A.仅有水平渐近线B.仅有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线D.既没有水平又没有垂直渐近线 19. 曲线11xy e =-的渐近线（ ）A.1x =为垂直渐近线，0y =为水平渐近线B.1x =为垂直渐近线，1y =为水平渐近线C.0x =为垂直渐近线，0y =为水平渐近线D.0x =为垂直渐近线，1y =为水平渐近线三、填空题1. 若函数()f x 在[,]a b 上可导，则至少存在一点(a,b)ξ∈使得'()f ξ= 。

2. 函数23()1f x x =+在(1,1)-内满足罗尔中值定理的点是ξ= 。

3. 函数()f x =(0,3)内满足罗尔中值定理的点是ξ= 。

4. 函数3()2f x x =在(1,1)-内满足拉格朗日中值定理的点是ξ= 。

5. 函数32()52f x x x x =-+-在(1,0)-内满足拉格朗日中值定理的点是ξ= 。

6. 函数()sin ,()cos ,f x x g x x ==在(0,)2x π∈内满足柯西中值定理的点是ξ= 。

7. 函数(),()f x x g x ==在(0,1)x ∈内满足柯西中值定理的点是ξ= 。

8. 函数2()p f x x qx r =++在区间(,)a b 内满足拉格朗日中值定理的点是ξ= 。

9. 函数32()2f x x x x =--，()21g x x =+在区间(0,1)内满足柯西中值定理的点是ξ= 。

10. 函数()arctan f x x x =-在(,)-∞+∞上严格单调 。

11. 函数()2cos f x x x =+在[0,]2π内的最大值点是 。

12. 函数1()11f x x x =-+-的极大值点是 ，极小值点是 。

13. 曲线2x y e-=在区间 上是凸的。

14. 曲线31(2)y x =--的拐点是 。